2.1.6. Нестационарная теплопроводность

Процессы передачи теплоты теплопроводностью, когда температурное поле в теле изменяется не только в пространстве, но и во времени, называются нестационарными. В нестационарных процессах, встречающихся в промы-шленных установках, тело стремится к тепловому равновесию или температура тела периодически изменяется. К первой группе относятся процессы нагрева или охлаждения тел, помещенных в среду с заданным тепловым состоянием (например, нагрев болванки в печи, охлаждение элементов энергетической установки после ее останова и др.). Ко второй группе - процессы, происходящие в периодически действующих подогревателях (например, нагрев воздуха в регенераторе, насадка которого то нагревается горячими газами, то охлаждается нагреваемым воздухом и др.).

Из-за тепловой инерции тело, имеющее в начальный момент времени пос-тоянную по объему температуру t₀ и помещенное в среду с более высокой постоянной температурой t_ж > t₀, прогревается неравномерно по объему. С течением времени изменение температуры в центре t_ц отстает от ее изменения на поверхности t_с. По мере прогревания температура в каждой точке тела стремится к некоторому предельному значению, близкому к температуре окружающей среды t_ж.

Аналитическое описание процесса нестационарной теплопроводности включает в себя дифференциальное уравнение (2.5) и условия однозначности.

В результате решения задачи нестационарной теплопроводности находят функцию t = f (x, y, z, τ), которая удовлетворяет условиям однозначности, а также определяют количества теплоты, которые необходимо подводить к телу (или отводить от него) в различные моменты времени.

Задачи нестационарной теплопроводности решаются как точными анали-тическими, так и приближенными методами. При аналитическом способе решения температуру в различные моменты времени можно представить в виде функциональной зависимости ряда безразмерных комплексов:

θ = f (x, Bi, Fo), (2.37)

где θ - безразмерная температура тела; Bi - критерий Био, характеризующий связь температурного поля в теле с условиями внешней теплоотдачи; Fo - критерий Фурье, представляющий собой безразмерное время; х – безразмерная координата:

θ = (t – t_ж) / (t₀ – t_ж); Bi = α l₀ / λ_c ; Fo = aτ / l₀².

Здесь l₀ - характерный размер тела (например, для пластины - половина ее тол-щины, для цилиндра - радиус), м; α - коэффициент теплоотдачи на поверхности тела, Вт/м²К; λ, а - коэффициенты теплопроводности и температуропровод-ности тела, Вт/(м∙К) и м²/с;  - время, с.

Результаты полученных решений задач теплопроводности обычно пред-ставляют в виде номограмм для тел простейшей геометрической формы (плас-тина, цилиндр, шар). Номограммы дают зависимость безразмерной темпера-туры θ в центре и на поверхности тела в зависимости от критериев Био и Фурье при граничных условиях третьего рода и равномерном начальном распределении температуры. Пользуясь этими номограммами, можно решать следующие задачи: определять время охлаждения или нагревания до заданной температуры по известным условиям теплоотдачи на поверхности тела; находить температуру в теле через заданное время; определять интенсивность теплоотдачи на поверх-ностях тела.

Количество теплоты Q_τ, отданного или воспринятого телом за время , рассчитывается из соотношения

Q_τ = Q_п (1 – θ), (2.40)

где Q_п - количество теплоты, которое отдает или воспринимает поверхность тела; θ - средняя безразмерная температура.

Количество теплоты Q_п для пластины относят к 1 м² ее поверхности, а для цилиндра - к 1 м его длины. Соответственно количество теплоты Q_п , воспринимаемой или теряемой в процессе теплообмена пластиной или цилин-дром, определяется по соотношениям

Q_п = 2 δ ρ с (t₀ – t_ж), Q_п = π r₀² ρ с (t₀ – t_ж),

где δ - толщина пластины, r₀ - радиус цилиндра, ρ, с - плотность и тепло-емкость материала.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте основной закон теплопроводности.

2. Дайте характеристику дифференциального уравнения теплопроводности и условий однозначности.

3. Как распределяется температура по толщине плоской и цилиндрической стенок?

4. Укажите основные способы интенсификации процессов теплопередачи.

5. В чем состоит физический смысл коэффициента теплопередачи?