2.1.3. Теплопроводность при стационарном режиме и граничных условиях первого рода

Рассмотрим теплопроводность тел простейшей геометрической формы, на боковых поверхностях которых поддерживается постоянные температуры t₁ и t₂. В этом случае температура изменяется только по одной координате – по сечению тела, температурное поле - одномерное.

При выводе расчетных зависимостей будем считать, что стенки однородны по физическим свойствам, тепловыделение в них отсутствует. Коэффициент теплопроводности λ принимаем постоянным: λ = const, не зависящим от температуры и других факторов, режим - стационарный (установившийся). При решении задачи определим закон распределения температуры по сечению стенки и вычислим тепловой поток, проходящий через стенку.

Плоская стенка (рис. 1.2). Дифференциальное уравнение теплопроводности и условия однозначности для плоской стенки имеют вид

д²t / дх² = 0, t_x=0 = t₁ , t_x=δ = t₂ , (2.7)

г де δ – толщина стенки. Интегрируя (2.7), получаем

дt / дх = C₁ , t_x = C₁x + C₂ , (2.8)

где C₁ и C₂ - постоянные интегрирования, значения которых находятся из граничных условий (1.7).

При х = 0 из (2.7) и (2.8) находим, что C₂ = t₁; при х = δ t = C₁x + t₁ , откуда C₁ = - (t₁ - t₂)/δ. Подставляя C₁ и C₂ в (1.8), получим уравнение температурного поля:

t (x) = t₁ – (t₁ – t₂ )·δ/x . (2.9)

Из выражения (2.9) следует, что температура в стенке

Рис.2.2.Температурное поле изменяется по линейному закону при условии λ =

плоской пластинки const. Согласно закону теплопроводности Фурье, пло- тность теплового потока, передаваемого через стенку, равна

q = - λ ( дt / дx) = λ (t₁ – t₂ )/δ . (2.10)

Таким образом, плотность теплового потока прямо пропорциональна коэффи-циенту теплопроводности, разности температур на поверхностях стенки и обра-тно пропорциональна толщине стенки .

Запишем соотношение (2.10) в форме закона Ома:

q = (t₁ – t₂ ) / (δ/λ) . (2.11)

Стоящую в знаменателе величину R_λ = δ / λ , К/(Вт/м²) называют по аналогии с электротехникой термическим сопротивлением плоской стенки. Общее количе-ство теплоты Q , Дж, передаваемое через поверхность стенки площадью F за время , равно

Q = q F  = F  λ (t₁ – t₂ )/δ. (2.12)

В общем случае для плоской стенки, состоящей из n слоев, однородных по физическим свойствам и плотно прилегающих друг к другу, выполненных из различных материалов разной толщины, плотность теплового потока q составит

q = (t₁ – t_n+1) / Σ(δ_i/λ_i) , (2.13)

i

где Σ(δ_i/λ_i) - полное термическое сопротивление многослойной плоской стенки,

i

равное сумме термических сопротивлений n слоев; t₁, t_n+1 – температуры на внешних поверхностях многослойной стенки.

Цилиндрическая стенка (рис. 2.3). Считаем, что полый цилиндр (труба) является прямым, круглым, бесконечно длинным. Температуры на внутренней и внешней поверхностях цилиндрической стенки t₁ и t₂ поддерживаются посто-янными, причем t₁  t₂. Температура изменяется только вдоль радиуса: t = f (r), изотермические поверхности являются концентрическими цилиндрическими поверхностями. Дифференциальное уравнение теплопроводности в этом случае принимает вид

д²t / дr² + (1/r ) (дt/дr) = 0. (2.14)

Введем новую переменную u - градиент тем-пературы (grad t): u = dt/dr. Подставляя u в урав-нение (2.14), получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

дu / дr + u/r = 0. (2.15)

Интегрируя, получаем ur = C₁. Подставив u = dt / dr и разделив переменные dt = C₁ (dr / r), интегрируя, имеем

t _r = C₁ ln r + C₂ , (2.16)

Рис. 2.3. Температурное поле где C₁, C₂ - постоянные интегрирования. Распределе- в стенке трубы

ние температуры по сечению цилиндрической стенки описывается уравнением логарифмической кривой.

Из граничных условий первого рода находим постоянные C₁ и C₂ и, вос-пользовавшись законом Фурье, вычисляем тепловой поток Q, Вт, проходящий через участок цилиндрической поверхности длиною l:

Q = 2 π λ l (t₁ – t₂ ) / ln (d₂/d₁) , (2.17)

где d₁, d₂ - внутренний и наружный диаметры стенки трубы.

Иногда ставится задача расчета теплового потока, отнесенного к площади внутренней или внешней поверхности трубы, либо к ее длине. Тепловой поток, отнесенный к единице длины q_l, Вт/м, называется линейной плотностью тепло-вого потока:

q_l = Q / l , q_l = π (t₁ – t₂ ) / [(1/2λ) ln(d₂/d₁)] . (2.18)

Величина R_lλ = (1/2λ)ln(d₂/d₁) называется линейным термическим сопротивле-нием цилиндрической стенки, (К/Втм).

В практических расчетах при d₂/d₁ ≤ 2 (т. е. когда цилиндрическая стенка является тонкостенной) линейный тепловой поток q_l с погрешностью менее 5% можно рассчитывать по формуле плоской стенки:

q_l = π d (t₁ – t₂ ) / (δ/λ) , (2.19)

где d - средний диаметр стенки, d = 0,5(d₁ + d₂),  - толщина стенки, причем

 = 0,5 (d₂ - d ₁).