2.1.2. Дифференциальное уравнение теплопроводности

Теория теплопроводности разработана математической физикой в ХIХ и ХХ веках. В декартовых координатах дифференциальное уравнение теплопровод-ности для твердого тела из однородного материала имеет вид

дt / дτ = [ / (сρ)] (д²t/дx² + д²t/дy² + д²t/дz²) + (q_v /сρ), (2.4)

где  - коэффициент теплопроводности, Вт/(мК), с - теплоемкость, Дж/(кгК),  - плотность, кг/м³ вещества; q_v - мощность внутреннего тепловыделения в исследуемом теле, Вт/м³, причем предполагается, что это тепловыделение распре-делено равномерно по всему его объему. Комплекс a = λ/(cρ) с размерностью м²/с называют коэффициентом температуропроводности тела. Этот коэффициент характеризует скорость изменения температуры тела.

У словия однозначности. Дифференциальное уравнение (2.4) выведено на основе общих законов физики и описывает явления теплопроводности в самом общем виде. Для решения конкретных задач необходимо к уравнению присое-динить математическое описание частных особенностей рассматриваемого процесса, которые называются условиями однозначности. Это геометрические условия (форма и размеры тела), его теплофизические свойства, т. е. параметры a, , с, , начальные условия – распределение температуры внутри тела в начальный момент времени, а также условия теплообмена на границах тела с внешней средой (граничные условия).

Граничные условия на внешних поверхностях тела для любого момента времени  можно задавать следующими способами:

- распределением температуры на поверхности тела: t_c = f (x, y, z, ) или t_c = const (это граничные условия первого рода);

- распределением плотностей теплового потока, подводимого или отводи-мого от тела для любой точки его поверхности: q_c = f (x, y, z, ) (в частном случае q_c = const.). Это граничные условия второго рода;

- задавая постоянную температуру окружающей среды t_ж и закон тепло-обмена между поверхностью тела и окружающей средой (это - граничные условия третьего рода). При задании граничных условий Ш рода обычно принимают, что плотность теплового потока q на границе тела, температура поверхности которого равна t_c, определяется по закону Ньютона – Рихмана:

q = α (t_c – t_ж) , (2.5)

где t_ж – температура окружающей среды, α – коэффициент теплоотдачи, который характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Размерность коэффициента теплоотдачи Вт/(м²К).

Приравнивая плотности теплового потока q, передаваемого на поверхности раздела «жидкость-тело» теплопроводностью (выражение (2.3) и теплоотдачей к окружающей среде (соотношение (2.5), получим аналитическое выражение для граничных условий III рода:

- λ (дt / дn)_c = α (t_c – t_ж) , или α = - (λ / Δt) (дt/дn)_c (2.6)

где Δt = t_c – t_ж - температурный напор «стенка – окружающая среда». Индекс «с» означает, что температурный градиент относится к поверхности тела (стенке).

Дифференциальное уравнение теплопроводности и условия однозначности дают полную математическую формулировку конкретной задачи теплопровод-ности. Проще всего задача решается, когда режим теплообмена – стационарный, т. е. температура тела не изменяется во времени, дt/дτ = 0.

Специалистами в области математической физики разработано большое количество задач по решению уравнения теплопроводности в декартовых, цилин-дрических, сферических координатах. Эти решения в удобной для практического использования форме содержатся в специальной литературе.