Розділ 5. Стохастичні моделі систем управління запасами з періодичним поповненням запасів

5.1. Моделі систем з постійним рівнем запасів

У системах з періодичними перевірками використовується стратегія функціонування, згідно якої замовлення на поповнення запасів подається в момент перевірки тільки у тому випадку, коли попит за період функціонування перевищує наявний запас. Тут періодом функціонування є інтервал часу між двома послідовними перевірками. В момент перевірки замовляється партія, яка доводить фіктивний рівень запасів (обсяг наявних запасів плюс обсяг ще невиконаних замовлень) до деякого значення Цю стратегію управління запасами називають правилом постійного рівня, або просто R-стратегією.

Альтернативою є така стратегія, коли замовлення на поповнення запасів подаються, якщо в момент перевірки фіктивний рівень запасів виявиться рівним або меншим після чого він доводиться до Цю стратегію називають -стратегією. стратегія є частинним випадком стратегії при коли рівень запасів дискретний, і при якщо рівень запасів неперервний.

Стратегії проміжного типу також потребують, щоб запас поповнювався тоді, коли при черговій перевірці фіктивний рівень запасів у системі виявився рівним або меншим Відмінність полягає у тому, що обсяг партії, що замовляється, кратний деякій фіксованій величині тобто замовляється партія розміру Тут найбільше ціле число, для якого фіктивний рівень запасів після подачі замовлення виявляється рівним або меншим Таку стратегію управління запасами називають -стратегією. У даному розділі, припускаючи стаціонарність процесів попиту і поставки, будуть розглянуті і співставлені різні моделі управління запасами, у яких застосовуються ці стратегії. Мета такого дослідження полягає не тільки в тому, щоб при заданому Т підібрати відповідні значення але, щоб у випадку, коли період перевірки можна змінювати, знайти оптимальне значення Т. Моделі управління запасами для систем з періодичною перевіркою, у яких використовується R-стратегія, називають -моделями. -моделі засновані на -стратегії. При використанні у системі з періодичною перевіркою -стратегії будемо говорити про -моделі. Будь-яку із цих моделей можна використовувати як для визначення оптимального значення Т, так і для обчислення оптимальних при заданому Т.

Щоб визначити оптимальне значення Т у системі з періодичною перевіркою, потрібно врахувати вартість перевірки. У вартість перевірки не включаються витрати, пов’язані із поставкою поповнення, оскільки необхідність у поповненні виникає далеко не при кожній перевірці.

Почнемо аналіз моделей систем з періодичними перевірками із розгляду двох простих наближених моделей, які на практиці одержали найбільше застосування: модель системи з обліком замовлень і модель системи із втратами невиконаних замовлень.

5.1.1. Модель із обліком невиконаних замовлень

Нехай Т – інтервал часу між двома послідовними перевірками, у кожній із яких фіктивний рівень запасів поповнюється до величини Необхідно визначити оптимальні значення

Введемо позначення:

період роботи системи управління запасами (інтервал часу між двома послідовними перевірками);

час поставки замовлення;

фіктивний рівень запасів (обсяг наявних запасів плюс обсяг ще невиконаних замовлень)

щільність імовірності попиту обсягу х за час

інтенсивність попиту;

середній попит за час поставки;

вартість подачі замовлення на поповнення запасу;

вартість перевірки рівня запасів;

вартість одиниці запасів;

коефіцієнт витрат зберігання запасів;

витрати зберігання запасу;

витрати, пов’язані із обліком невиконаних замовлень.

У середні річні витрати потрібно включити: a) вартість перевірки; б) витрати, пов’язані із подачею замовлень на поповнення; в) витрати зберігання; г) витрати, пов’язані із обліком невиконаних замовлень.

Перевірки проводяться один раз за період Т, і тому середня вартість перевірки складає а середні витрати, пов’язані із подачею замовлення, дорівнюють Оскільки кожна перевірка обов’язково супроводжується замовленням на поповнення запасів, то у цьому випадку вартість перевірки і витрати на замовлення можна об’єднати. Якщо позначити через суму то середні витрати на перевірку і подачу замовлень складуть

За означенням -моделей, зразу ж після подачі замовлення фіктивний рівень запасів у системі дорівнює Тому до моменту поставки математичне сподівання чистого запасу складає де середній попит за час поставки. Оскільки середня інтенсивність попиту постійна, то середній рівень чистого запасу лінійно убуває у часі і до моменту чергової поставки дорівнює Отже, середній інтегральний обсяг запасів або середнє число одиниць товарів за один період наближено визначається величиною

так що середні річні витрати зберігання складають

(5.1)

Для того, щоб підрахувати середні річні витрати на облік замовлень, необхідно визначити середню кількість врахованих замовлень за рік. Для цього обчислимо середню кількість таких замовлень за один період і усереднимо їх по Т. Розглянемо спочатку випадок постійного часу поставки. Товари, які заказані в момент часу надійдуть на склад в момент де час поставки, а наступне поповнення запасів відбудеться в момент Одночасно із подачею замовлення в момент часу фіктивний рівень запасів у системі стає рівним Підрахуємо середню кількість замовлень, врахованих на інтервалі від до Замовлення реєструється тільки у тому випадку, коли попит за час перевищить рівень Звідси середня кількість врахованих за період замовлень дорівнює

(5.2)

Припустимо тепер, що час поставки випадкова величина із щільністю розподілу і нехай область можливих значень часу поставки обмежена знизу і зверху величинами і . Тоді якщо і означають часи поставок для замовлень, поданих відповідно в моменти часу то середня кількість врахованих за період замовлень складе

(5.3)

де

(5.4)

Якщо покласти рівній при постійному часі поставки , а для випадкового часу поставки визначити функцію співвідношенням (5.4), то середня кількість врахованих за період замовлень буде визначатись виразом (5.3). За рік враховується в середньому замовлень:

(5.5)

Отже середні річні витрати по обліку замовлень складуть

(5.6)

Усі доданки сумарних річних витрат тепер визначені. Загальні середні річні витрати даються наступним виразом:

(5.7)

Значення яке мінімізує функцію при фіксованому Т, задовольняє рівнянню

(5.8)

у якому

(5.9)

Таким чином, яке є оптимальним значенням є розв’язком рівняння:

(5.10)

Рівняння (5.10) при умові для усіх має єдиний розв’язок. Зауважимо, що при рівняння (5.10) не має розв’язку. Виконання цієї умови означало б, що черга зареєстрованих замовлень зростає надто швидко. Тому, якщо справедливі прийняті спочатку припущення, то вказана вище нерівність виконуватись не може.