4.6. Точна модель системи з втратами невиконаних замовлень

Точні вирази витрат для системи з втратами замовлень більш складні ніж для системи із їх врахуванням. Тому для системи із втратами одержані відповідні рівняння лише у випадку якщо допускається більш одного невиконаного замовлення на поповнення запасу. У даному параграфі виведемо точні формули для середніх річних витрат і оптимальних значень припускаючи, що може бути тільки один невиконане замовлення на поповнення запасу.

Нехай замовлення, які надходять у систему, коли у ній відсутні запаси, втрачаються. Як і раніше, припустимо, що дану систему можна описати за допомогою марковського випадкового процесу і що у системі існує стан статистичної рівноваги. Припустимо, що час поставок постійний і дорівнює а також попит утворює процес Пуассона, причому розмір кожного замовлення дорівнює одиниці. Як і раніше, вважаємо, що у системі використовується стратегія

Якщо наявний запас плюс розмір замовлення використовуються при визначенні точки подачі замовлення то наявний запас плюс замовлення будуть коливатись від рівня до протягом кожного циклу. Однак тепер розподіл імовірностей станів не обов’язково буде рівномірним, оскільки наявний запас плюс розмір замовлення не будуть змінюватись від до при надходженні замовлень у період дефіциту запасів. Якщо у системі немає запасів, то сума наявного запасу і розміру замовлення не змінюються при надходженні замовлень. Тепер вже неможна описувати зміну цієї суми незалежно від рівня наявного запасу, що, зокрема, і утруднює вивчення системи з втратами. Тепер потрібно вести точний облік часу подачі усіх замовлень і облік їх кількості. Як і раніш, справедливе твердження, що усе замовлене до моменту буде поставлено до моменту і те, що не замовлено до моменту , не може бути поставлено до моменту Однак звідси ще не випливає, що якщо в момент сума наявного запасу плюс замовлення дорівнює то ймовірність наявності одиниць запасу в момент дорівнює ймовірності того, що за час попит складе Система може залишатись на деякий час без запасу у період від до коли можливе надходження одного або декілька замовлень. Ті замовлення, які надходять при відсутності запасу на складі, втрачаються, і тому у момент наявний запас може бути рівним одиниць, якщо навіть більше замовлень надійшло за час поставки.

При обліку незадовільнених замовлень може існувати будь-яка кількість невиконаних замовлень. У системі із втратами ця кількість не може перевищувати максимального цілого числа, меншого або рівного Тому максимальна кількість замовлень визначається значеннями Якщо то не може існувати більше одного невиконаного замовлення.

Тепер виведемо точні формули для системи із втратами при умові, що допускається не більше одного невиконаного замовлення на поповнення. Визначимо спочатку очікувані витрати за цикл між поставками, а потім для визначення середніх річних витрат помножимо одержаний вираз на середнє число циклів за рік. Цей підхід дозволяє не обчислювати ймовірності станів системи, тому що у даному випадку обчислити їх досить складно.

Визначимо тривалість часу протягом циклу, коли у системі немає запасів. При досягненні рівня подачі замовлення на поповнення у наявності є одиниць запасу, а невиконаних замовлень нема. Якщо за інтервал після подачі замовлення на поповнення запас повністю вичерпаний, то це означає, що за час від 0 до попит складав одиницю, і замовлення надійшло у інтервалі . Імовірність такої події дорівнює Якщо система залишилась без запасу у інтервалі , то вона буде залишатись без запасу час протягом циклу. Звідси середній час за цикл, протягом якого у системі спостерігається дефіцит, дорівнює

(4.38)

На основі (4.38) середнє число циклів за рік складе

(4.39)

Обчислимо очікувану кількість одиниць запасу на складі протягом циклу. Імовірність наявності одиниць запасу на складі в момент поставки дорівнює для Але ця ймовірність буде також імовірністю наявності одиниць запасу зразу після поставки. Таким чином, імовірність того, що наявний запас складає одиниць зразу після поставки, дорівнює

Очікувана кількість одиниць товару на складі за цикл визначається у два прийоми. Спочатку цей показник обчислюється для періоду, якій передує точці подачі замовлення (цей час випадковий), а потім для періоду від моменту подачі замовлення до його поставки. Якщо після поставки поповнення у наявності є одиниць запасу, то до надходження першого замовлення цей рівень не змінюється. Він буде дорівнювати від моменту задовільнення першого замовлення і до надходження другого і т.д. і буде дорівнювати від моменту задовільнення -го замовлення до надходження -го. Середній час між надходженнями замовлень дорівнює Якщо наявний запас дорівнює то кількість одиниць товару, які зберігаються на складі до моменту подачі замовлення, буде складати

Усереднюючи цей вираз по одержимо очікувану кількість одиниць товару, який зберігається на складі до моменту подачі замовлення на поповнення:

Очікувана кількість одиниць запасу на складі від моменту подачі замовлення до поставки поповнення визначається як інтеграл від 0 до від очікуваного наявного запасу в момент

Із останніх двох виразів одержимо очікувану кількість одиниць товару, який зберігається на складі протягом циклу

(4.40)

Легко підрахувати очікувану кількість втрачених замовлень за цикл. Якщо за час поставки попит то буде втрачено замовлень. Таким чином, математичне сподівання кількості втрачених замовлень на основі формули

дорівнюватиме

, (4.41)

де

На основі формули

можна встановити, що дорівнює добутку очікуваного числа втрачених замовлень на середній час між надходженнями замовлень

Якщо взяти до уваги, що то одержаний вираз для співпадає з (4.38).

На підставі визначених величин – кількості циклів , середній кількості одиниць товару , що зберігається на складі, середній кількості втрачених замовлень – одержуємо середні річні витрати

, (4.42)

де, витрати по замовленняам і поставкам, представляє вартість зберігання одиниці продукції, а вартість втраченого замовлення, включаючи втрачений прибуток.

Підставляючи співвідношення (4.38), (4.39), (4.40) у (4.42) і перегрупувавши його члени належним чином, формулу для середніх річних витрат можна представити у такому вигляді

(4.43)

Можна довести, що мінімізація середніх річних витрат, які включають вартості втрачених замовлень, а також втрачений прибуток, дає такі ж значення як і у випадку максимізації середнього річного доходу. Треба відмітити, що вираз (4.43) для середніх річних витрат буде точним лише при умові, що може існувати не більше одного невиконаного замовлення на поповнення. Більш загальні випадки теоретично не розроблені.

Цікаво відмітити, що для нехтовно малих вираз (4.43) стає дискретним варіантом простої моделі системи із втратами, яка вивчена у параграфі 4.1. На практиці для знаходження майже завжди можна обмежитись простою моделлю.

Приклад 4.4. Система управління запасами, описується моделлю із втратами незадовільнених замовлень. Система характеризується такими параметрами: попит на товари описується розподілом Пуассона з параметром одиниць у рік. Час поставки випадковий, розподілений за експоненціальним законом із середнім значенням року. Інші параметри задачі мають такі значення: , , , грош. од.

Використовуючи стратегію , визначимо оптимальні значення розміру партії поповнення запасу , рівня подачі замовлення та рівня гарантійного запасу за критерієм мінімуму очікуваних витрат на поставки продукції, утримання запасів і втрат у наслідок дефіциту.

Алгоритм у Mathcad

Вхідні дані

Перетворення масиву значень функції у матрицю

Фрагмент матриці

_{Мінімальне значення цільової функції}

Індекси мінімального елемента матриці і відповідні оптимальні значення

та цільової функції

_{Оптимальний гарантійний запас}

Перевірка умов оптимальності значень

Функціональні характеристики системи:

 середнє число циклів у рік

 очікувана кількість одиниць товару, який зберігається на складі протягом циклу

 середній час за цикл, протягом якого у системі є дефіцит

 математичне сподівання кількості втрачених замовлень

Коментар. Оптимальна стратегія управління запасами у даній системі полягає у тому, що розмір замовлення складає од. товару, оптимальна точка його подачі дорівнює одиниць. Рівень страхового запасу Середні річні витрати складуть Оскільки очікуваний попит за час поставки дорівнює одиниць, то гарантійний запас складе одиниць товару. Кількість циклів роботи системи, середня кількість одиниць товару, що зберігається на складі, і середня кількість втрачених замовлень відповідно дорівнюють .

Наведемо частинний випадок наведеної моделі при При певних умовах оптимально замовляти поповнення запасу по одній одиниці у моменти надходження замовлень. Це може бути вірним у випадку, якщо попит дуже малий або одиниця запасу коштує дуже дорого. Розв’язок, знайдений для -моделі у підрозділі 4.2, дозволяє з’ясувати, чи є значення оптимальним.

Розглянемо спочатку систему з обліком невиконаних замовлень. Імовірності станів і вирази для витрат можна безпосередньо одержати у підрозділі 4.2, покладаючи Однак ці результати можна одержати і прямо. Оскільки тобто замовлення подається кожний раз при надходженні чергового замовлення, то фіктивний рівень запасу повинен залишатись постійним. Позначимо його через Будемо вважати, що попит дискретний, а приймає тільки цілочислові значення, обсяг попиту описується розподілом Пуассона з параметром

Нехай час поставки постійний і дорівнює При визначенні розподілу наявного запасу потрібно мати на увазі, що, що усі товари, які замовлені в момент будуть поставлені в момент В момент часу фіктивний рівень запасу дорівнює Тому представляє собою ймовірність того, що попит за час поставки поповнення складає або і дорівнює

(4.44)

Аналогічно визначається розподіл кількості врахованих замовлень

(4.45)

Імовірність дефіциту запасів і очікувана кількість врахованих замовлень відповідно дорівнюють

(4.46)

(4.47)

Математичне сподівання рівня наявного запасу до моменту визначається за формулою

. (4.48)

Тому середні річні витрати по врахуванню незадовільнених замовлень і зберіганню запасів дорівнюють

(4.49)

Середні річні витрати по оформленню і подачі замовлень не залежать від і тому у (4.49) не включаються. Якщо є найменшим значенням при якому досягає мінімуму, то необхідно, щоб виконувались умови:

(4.50)

Але

Тому буде найбільшим значенням для якого

Якщо то і мінімізують Коли задача зводиться до визначення максимального такого, що

а коли то потрібно знайти таке найбільше , щоб виконувалась нерівність

Одержавши вираз для середніх річних витрат і встановивши умову оптимальності для постійного часу поставки, повернемось тепер до вивчення системи із випадковим часом поставки. Нехай моменти поставок утворюють процес Пуассона, тобто щільність імовірності часу поставки буде мати експоненціальний розподіл із середнім значенням Замовлення можуть виконуватись не у тій послідовності, у якій вони були подані. У цьому випадку можна побудувати марковську модель системи. Нехай стани системи відповідають рівням чистого запасу. Імовірність переходу системи за час із -го стану у -й стан представляє собою ймовірність появи одного замовлення за час тобто Імовірність переходу із -го стану у -й стан за час дорівнює ймовірності ви конання за цей час одного замовлення на поповнення. Для обчислення ймовірності цього переходу зауважимо, що якщо система знаходиться у - му стані (тобто чистий запас дорівнює то замовлень ще не виконано. Імовірність виконання будь-якого одного із них за час дорівнює Одній пуассонівській події відповідають переходи тільки у сусідні стани, і тому тільки їх потрібно враховувати за час Якщо позначити через стаціонарний розподіл рівня чистого запасу, то рівняння для усталеного режиму мають вигляд

Якщо то за допомогою послідовної підстановки, починаючи з знаходимо, що

(4.51)

Оскільки

то

і на підставі (4.51) маємо

(4.52)

Таким чином, одержуємо ті ж самі ймовірності станів, що і при постійному часі поставок. Але це вірно лише при і не виконується при [8].