4.3. Точна модель системи з обліком втрачених замовлень

Розглянемо тепер точну модель розглядуваної системи управління запасами. Нагадаємо, що стратегія функціонування, яка використовує замовлення партії певного розміру при зниженні запасу до деякого рівня, може бути оптимальною, якщо у системі використовується оперативна інформація. Далі увага буде приділена виведенню точного виразу для середніх річних витрат при пуассонівському процесі попиту, постійному часі поставки поповнення при обліку невиконаних замовлень. Буде також розглянуто узагальнення моделі для випадку випадкового часу поставок. Однак точний вираз витрат можна одержати порівняно просто, прийнявши тільки ряд обмежуючих припущень. Також буде вивчена система з втратами замовлень. При виведенні точних виразів для витрат вважають, що у системі може бути не більше одного невиконаного замовлення на поповнення запасу.

Майже у всіх моделях буде прийнято припущення, що надходження замовлень утворює процес Пуассона. Далі буде також розглянута апроксимація розподілу Пуассона нормальним розподілом.

Для ілюстрації іншого підходу буде розглянута система з обліком невиконаних замовлень при постійному часі поставок поповнення запасу і при пуассонівському процесі попиту. Цей підхід використовує модель марковського випадкового процесу з неперервним часом і з дискретним простором станів. Марковські моделі виявляються корисними для різних систем і дозволяють безпосередньо оперувати ймовірностями станів. Але вони незастосовні, якщо середні витрати за рік обчислюються як добуток очікуваних витрат за цикл поставки на середню кількість циклів за рік.

При обчисленні оптимальних значень використовується критерій мінімуму середніх річних витрат. Вони визначаються як границя відношення середніх витрат за період часу до цього часу при

Ведемо позначення: імовірність дефіциту, тобто частка часу, протягом якого у системі буде спостерігатись дефіцит запасів; середня кількість одиниць нестачі запасів за рік; середня кількість одиниць запасів, які зберігаються у системі протягом року; середня кількість втрачених за рік замовлень; стаціонарний розподіл чистого запасу. Значення залежать від характеру процесів, які утворюються попитом і моментами поставок, і їх можна обчислювати, визначаючи спочатку відповідні середні значення за цикл, а потім множачи на кількість циклів Середні значення за цикл обчислюють на основі інформації про попит і терміни поставок. Однак, якщо є можливість визначити стаціонарний розподіл рівня чистого запасу то значення і можна обчислити безпосередньо

(4.13)

Важливо відмітити, що розподіл допускає ряд інтерпретацій:

 є імовірністю того, що фіктивний запас дорівнює якщо система знаходиться у стані статистичної рівноваги (в усталеному стані);

 визначає частку часу в усталеному режимі роботи, протягом якого чистий запас дорівнює .

Одержимо тепер точні формули для середніх річних витрат при пуассонівському процесі попиту з інтенсивністю і при постійному часі поставок Загальний попит припускається дискретною випадковою величиною, дискретні значення також приймають розмір партії і рівень подачі замовлення на поповнення запасу

У наближених моделях для визначення моменту подачі замовлення на поповнення запасу використовувався наявний (або чистий) запас. Але у точній моделі для визначення моменту (точки) подачі замовлення не можна використовувати наявний запас, оскільки при дуже інтенсивному попиті у одному із циклів між поставками, у наслідок врахування замовлень, виконана поставка може не забезпечити рівень запасу вище рівня подачі замовлення на поповнення. Отже потрібно використовувати фіктивний рівень запасу (тобто наявний запас плюс розмір замовлення на поповнення мінус сума врахованих замовлень). При використанні фіктивного рівня запасу подібна ситуація не виникає. Якщо протягом деякого циклу попит стає дуже інтенсивним і виникає значна кількість врахованих замовлень, то замовлення на поповнення будуть подані стільки разів, скільки потрібно, і рівень подачі замовлення буде досягатись відповідно цьому потрібне число разів.

Якщо позначити через рівень подачі замовлення у термінах фіктивного рівня, то зразу ж після подачі замовлення цей рівень стає рівним Таким чином, він може приймати значення Система не буде залишатись довгий час у стані, який визначається рівнем тому що при цьому негайно дається замовлення на поповнення до Але фіктивний рівень запасу не дозволяє судити про наявний або чистий запас. Якщо фіктивний рівень дорівнює то при цьому чистий запас може бути рівним при нульовому обсязі невиконаних замовлень на поповнення або дорівнювати при одному невиконаному замовлення і т.д. Для пуассонівського процесу попиту існує нульова ймовірність попиту на будь яку кількість запасів протягом будь-якого скінченого інтервалу часу. Тому теоретично у будь-який момент часу можна мати будь-яку кількість невиконаних замовлень. Але ймовірність великої кількості невиконаних замовлень буде дуже мала. У тих випадках, коли існує верхня межа попиту протягом будь-якого заданого періоду часу, загальна кількість невиконаних замовлень ніколи не буде перевищувати максимального попиту за час поставки поповнення. З іншого боку, чистий запас однозначно визначає кількість невиконаних замовлень і фіктивний рівень запасів, тому що, якщо чистий запас дорівнює , а кількість невиконаних замовлень дорівнює n, то фіктивний рівень запасу буде дорівнювати Значення буде дорівнювати найбільшому невід’ємному числу, яке задовольняє нерівність Для одержання задовільної точності результатів припустимо, що ймовірність більше ніж одного невиконаного замовлення на поповнення запасу нехтовно мала.

Для того, щоб визначити середню кількість врахованих замовлень, середній рівень наявного запасу і ймовірність дефіциту треба знати ймовірності станів системи, якщо цим станам відповідають різні рівні чистого запасу. Прямий спосіб обчислення ймовірностей станів полягає у складанні різницевих рівнянь, які описують усі можливі переходи із одного стану у інші стани. Але у даній системі час поставок постійний, тому застосовується інший підхід, пов’язаний з обчисленням імовірностей того, що стан системи (фіктивний рівень запасу) дорівнює

Якщо надходження замовлень утворює процес Пуассона, то ймовірність переходів фіктивного рівня запасів за нескінченно малий проміжок часу із стану у стан дорівнює Якщо ж система знаходиться у -му стані і з’являється одне замовлення, то система переходить у стан оскільки надходження цього замовлення пов’язано із подачею замовлення на поповнення. Рівняння статистичної рівноваги, яким задовольняють величини у цьому випадку будуть мати вигляд

Таким чином маємо співвідношення

Оскільки , то розв’язок цієї системи єдиний і дорівнює

(4.14)

Цим доведено, що в усталеному режимі кожному стану системи відповідає ймовірність незалежно від Тому розподіл імовірностей буде рівномірним.

Для визначення ймовірностей станів системи, які відповідають різним рівням наявного запасу, і кількості врахованих замовлень, розглянемо систему у деякі моменти часу де час поставки. Зауважимо, що до моменту буде поставлено лише стільки одиниць запасу, скільки замовлено в момент Якщо в момент фіктивний запас дорівнює то ймовірність того, що в момент наявний запас буде дорівнювати , дорівнює ймовірності того,

що в момент наявний запас буде дорівнювати , дорівнює ймовірності того, що за час поставки попит склав якщо або дорівнює нулю, якщо Для пуассонівського процесу попиту із параметром імовірність надходження такого числа замовлень дорівнює якщо Імовірність того, що фіктивний запас складає в момент дорівнює Тому для визначення імовірності того, що наявний запас в момент дорівнює , треба помножити на і підсумувати одержаний вираз по всім , для яких

(4.15)

(4.16)

Аналогічно, якщо система знаходиться у стані в момент а ймовірність врахування замовлень до моменту складає то розподіл кількості врахованих замовлень визначається за формулою

(4.17)

Обчислимо тепер імовірність дефіциту. Використовуючи (4.16), одержимо

(4.18)

.

Позначимо

Тоді (4.18) буде мати вигляд

. (4.19)

Середня кількість врахованих замовлень за рік на підставі (4.19) дорівнює

. (4.20)

Математичне сподівання кількості втрачених замовлень в момент , за означенням, буде дорівнювати

(4.21)

Зробимо перетворення у наступних виразах, застосовуючи формули

Звідси, якщо позначити

= )б

одержуємо

(4.22)

Раніше було показано, що представляє собою також середню кількість неcтач одиниць запасу за рік.

Визначимо тепер середній рівень запасу в момент

Зробимо також перетворення і в цьому виразі. Одержимо

і, крім того,

Таким чином,

.

Зауважимо, що

де середній попит за час поставки.

Тепер для середнього рівня запасу одержимо таку формулу

(4.23)

Є другий простий спосіб обчислення середнього рівня наявного запасу. Зауважимо, що середній фіктивний рівень запасу дорівнює математичному сподіванню наявного запасу плюс математичне сподівання замовлення мінус середній обсяг врахованих вимог. Середній фіктивний рівень запасу дорівнює

а

де очікуваний розмір замовлення.

Порівнюючи цей вираз із (4.23), встановлюємо, що очікуваний розмір замовлення дорівнює

(4.24)

тобто розмір замовлення дорівнює очікуваному попиту за час поставки

Тепер усі складові середніх річних витрат визначені. Вони складаються із очікуваних витрат, пов’язаних із подачею замовлень, витрат утримання запасів і витрат по обліку замовлень.

Будемо розглядати такі види витрат:

А – витрати по замовленням і поставкам товарів;

вартість одиниці товару, що поставляється;

І – коефіцієнт витрат утримання запасів;

витрати на утримання запасу;

витрати обліку одиниці замовленого товару;

штраф за нестачу одиниці товару протягом року.

На підставі визначених складових середніх річних витрат – очікуваних витрат, пов’язаних з подачею замовлень, витрат зберігання і витрат по обліку замовлень, функція загальних річних витрат буде мати вигляд

(4.25)

де визначаються за допомогою (4.21), (4.22) і (4.23). Тут припускається, що вартість одиниці товару не залежить від Крім того, витрати по введенню системи оперативного контролю рівня запасу і контролю усіх операцій не залежать від і тому не включені у .

Задача полягає у визначенні оптимальних значень величин які мінімізують функцію

Взагалі кажучи, знайти оптимальні значення , використовуючи (4.25), не дуже просто, тому що залежать від досить складним чином. На практиці рідко використовуються точні формули і точні моделі. Майже у всіх випадках визначення оптимальних значень наближеним методом не складає особливих труднощів. Точний вираз для потрібен лише тоді, коли витрати обліку вимог не дуже малі, але такі випадки не так часто зустрічаються на практиці.