Для описания непрерывных процессов в каждом случае требуется дифференциальное уравнение. В комбинированных моделях дифференциальные уравнения могут дополняться дискретными событиями.
Описанием имитационной модели непрерывной системы взаимодействия множества элементов xi ; i = 1,n является система диффе-
ренциальных уравнений вида:
Характерным примером является модель межвидового взаимодействия биологических популяций Лотки-Вольтерра, описываемая системой дифференциальных уравнений [3]:
,
где xi - численность популяции i-го вида;
ri – коэффициент собственного изменения численности i-го вида;
bi j - коэффициент влияния j-го вида на i-й.
При задаваемых коэффициентах bij и ri для трех видов система дифференциальных уравнений, описывающих динамику их взаимодействия, имеет вид:
Пример MDL-описания базисного компонента имеет вид:
BASIC COMPONENT Vid
USE OF UNITS
UNIT[NumX1] = BASIS
UNIT[NumX2] = BASIS
UNIT[NumX3] = BASIS
TIMEUNIT = [a] # время имитации
DECLARATION OF ELEMENTS
CONSTANTS
r1 (REAL[1/a]):= 2.0 [1/a], # коэффициент собственного выживания 1-го вида
r2 (REAL[1/a]):= 2.1 [1/a], # коэффициент выживания 2-го вида
r3 (REAL[1/a]):= 1.5 [1/a], # коэффициент выживания 3-го вида
# Коэффициенты влияния j-го вида на i-й
B11(REAL[1/(NumX1*a)]):= -0.5 [1/(NumX1*a)],
B12(REAL[1/(NumX2*a)]):= 1.0 [1/(NumX2*a)],
B13(REAL[1/(NumX3*a)]):= -0.4 [1/(NumX3*a)],
B21(REAL[1/(NumX1*a)]):= -1.0 [1/(NumX1*a)],
B22(REAL[1/(NumX2*a)]):= -0.4 [1/(NumX2*a)],
B23(REAL[1/(NumX3*a)]):= 0.7 [1/(NumX3*a)],
B31(REAL[1/(NumX1*a)]):= 0.4 [1/(NumX1*a)],
B32(REAL[1/(NumX2*a)]):= -0.7 [1/(NumX2*a)],
B33(REAL[1/(NumX3*a)]):= -0.1 [1/(NumX3*a)]
STATE VARIABLES
CONTINUOUS
# Начальные численности популяций
x1 (REAL[NumX1]) := 15[NumX1],
x2 (REAL[NumX2]) := 20[NumX2],
x3 (REAL[NumX3]) := 10[NumX3]
DYNAMIC BEHAVIOUR
DIFFERENTIAL EQUATIONS
# Система дифференциальных уравнений Лотки-Вольтерра
x1' := x1*(r1+B11*x1+B12*x2+B13*x3) ;
x2' := x2*(r2+B21*x1+B22*x2+B23*x3) ;
x3' := x3*(r3+B31*x1+B32*x2+B33*x3) ;
END
END OF Vid
Результаты моделирования в виде временных графиков приведены на рис. 6.3.
Рис. 6.3. Графики межвидового взаимодействия
Задание и порядок выполнения работы
Составить общее описание и полный текст MDL-описания модели Лотки-Вольтерра для трех биологических видов с комментариями к каждой строке.
По заданным матрицам коэффициентов системы дифференциальных уравнений в среде Simplex3 отработать порядок инсталляции модели, организации эксперимента и представления результатов в виде графиков выживания.
Исследовать влияние коэффициентов дифференциальных уравнений в модели путем их интерактивного изменения (по вариантам) для трех случаев:
- все коэффициенты bij < 0, (модель конкурирующего сообщества);
- все коэффициенты bij > 0, (модель сосуществующего сообщества);
- все пары коэффициентов bij и bji имеют противоположные знаки (случай паразитирования одного вида за счет другого).
Варианты
исходных матриц
коэффициентов
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
4. На основе заданных матриц модели межвидового взаимодействия интерактивным путем найти значения коэффициентов предельного выживания крайних видов.
5. Построить имитационную модель непрерывной системы, описываемой заданной системой дифференциальных уравнений:
16.
