Приложение 1
Исследовать на экстремум функционал
|
F(t,x,x') |
a |
b |
xa |
xb |
1 |
x2+4x'2-xtcost |
0 |
/3 |
0 |
1 |
2 |
-x2+4x'2+2x(t+1)sin t |
0 |
|
-1 |
0 |
3 |
x2+9x'2-xsin(t/3) |
0 |
1.5 |
0 |
2 |
4 |
16x2+x'2+2xte2t |
0 |
0.5 |
-1 |
0 |
5 |
x2+0.25x'2-2x(t2+1) |
0 |
2 |
-1 |
0 |
6 |
16x2+x'2+2xe4t |
0 |
0.5 |
-1 |
0 |
7 |
x2+x'2+2xet |
0 |
1 |
0.5 |
e |
8 |
x2+x'2-2xsin t |
0 |
/6 |
0 |
0.25 |
9 |
-x2+9x'2+xcost |
0 |
3 |
-1 |
1 |
10 |
-x2+x'2+xcost |
0 |
/2 |
-0.5 |
0.5 |
11 |
-x2+x'2+4xe-2t |
0 |
|
-1 |
1 |
12 |
-x2+0.25x'2+2x(t2+1) |
-1 |
0 |
1 |
1 |
13 |
-x2-x'2+2xe-2t |
0 |
1 |
-1/3 |
1 |
14 |
-x2-x'2+4xet |
0 |
1 |
1 |
e |
15 |
X2+1/9x'2-4xte-t |
-1 |
0 |
0 |
2 |
16 |
-x2+9x'2-xtcos2t |
0 |
/2 |
0 |
1 |
17 |
-x2-9x'2+4xte-2t |
0 |
1 |
0 |
2 |
18 |
-x2+1/9x'2-2xcost |
0 |
/3 |
0 |
1 |
19 |
16x2-x'2+2xsin(t/2) |
0 |
2 |
-2 |
0 |
20 |
x2+3x'2+2xet |
0 |
1 |
0 |
0 |
21 |
3x2+x'2+2x(t2+3) |
0 |
1 |
-1 |
0 |
22 |
x2+0.25x'2+6xte-t |
0 |
1 |
1 |
2 |
23 |
x2+1/9x'2-xtcost |
0 |
|
-1 |
0 |
24 |
16x2-x'2+2xe-3t |
0 |
2 |
-1 |
0 |
25 |
x2+x'2-2xte-t |
0 |
1 |
1 |
2 |
NПриложение 2.
( Задачи геометрического содержания.)
1.Соединить точки A(-a,0) и B(a,0) кривой наименьшей длины, заключающей вместе с отрезком AB оси OX площадь данной величины S.
2.Между точками О(0,0) и A(2,0) провести кривую так, чтобы объём тела вращения дуги OA вокруг оси OX был наибольшим при условии, что площадь поверхности вращения дуги OA вокруг оси OX равна 4.
3.Точки A(0,b) и B(a,0) соединить кривой, заключающей вместе с осями OX и OY данную площадь S и образующей при вращении вокруг оси OX наименьшую поверхность.
4.Найти однородное тело вращения вокруг оси OX с заданным объёмом V и наименьшим моментом инерции относительно оси OZ.
5.Найти замкнутую кривую данной длины l ,ограничивающую площадь наибольшей длины.
6.Среди кривых длины l ,соединяющих точки M1(x1,y1) и M2(x2,y2), найти ту, у которой центр тяжести лежит наиболее низко.
7.Найти геодезические линии круглого цилиндра радиуса R.
8.Найти геодезические линии шара.
9.Найти кратчайшее расстояние между точками A(1,0,-1) и B(0,-1,1),
лежащими на поверхности x+y+z=0.
________________
Примечание.
Напомним, что геодезической на поверхности S называется линия наименьшей длины, соединяющей две точки.
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 4
1.ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 4
ПОНЯТИЕ ПОЛНОТЫ. БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА 4
Определение 1.1 4
Пример1.1 4
Определение 1.2 4
Пример 1.2 4
Определение 1.3 5
Пример 1.3 5
Функционал, рассмотренный в примере 2 ,является линейным. Действительно, 5
Суммой двух функционалов F и G называется функционал равный 5
Пример 1.4 5
Определение 1.5 5
Пример1.5 5
Определение 1.6 5
Пример 1.6 6
Определение 1.7 6
Пример 1.7 6
Определение 1.8 6
Пример 1.8 6
Определение 1.9 6
Пример 1.9 6
Определение 1.10 7
Пример 1.10 7
ЗАДАЧИ 7
2.ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. 9
НОРМА ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА 9
Определение 2.1 9
Определение 2.2 9
Определение 2.3 9
Определение 2.4 9
Пример 2.1 9
10
ЗАДАЧИ 10
3.ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 11
Определение 3.1 11
Определение 3.2 11
Пример3.1 11
Определение3.3 12
Определение 3.4 12
ЗАДАЧИ 12
4.ПОСТАНОВКА ПРОСТЕЙШЕЙ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЛОКАЛЬНОГО ЭКСТРЕМУМА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОГО ФУНКЦИОНАЛА. УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА 14
Пример4.1 15
Определить экстремаль функционала 15
Решение. 15
F=y'2-37yy'-81y2 15
Пример4.2 16
Определить экстремаль функционала 16
Решение. 16
Пример 4.3 16
Определить экстремаль функционала 16
Решение. 16
Пример4.4 16
Определить экстремали функционала 16
Решение. 16
Уравнение Эйлера 17
Пример 4.5 17
Определить экстремаль функционала 17
Решение. 17
Пример 4.6 17
Определить экстремаль функционала 17
Решение. 18
Пример 4.7 18
Определить экстремаль функционала 18
Решение. 18
ЗАДАЧИ. 18
5.ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА, ЗАВИСЯЩЕГО ОТ ПРОИЗВОДНЫХ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 20
Пример 5.1 21
Определить экстремаль функционала 21
Решение. 21
Используем граничные условия 21
Экстремаль данного функционала 21
ЗАДАЧИ. 22
6. ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛОВ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ФУНКЦИЙ 23
Пример 6.1 23
Найти экстремали функционала 23
Решение. 23
ЗАДАЧИ. 24
7.ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛОВ ОТ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 25
Рассмотрим функционал 25
Пример 7.1 25
Найти экстремаль функционала 25
Решение. 25
Необходимое условие экстремума 25
ЗАДАЧИ. 26
8.ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА 26
ЗАДАЧИ. 27
9. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕКАЯ ЗАДАЧА 28
Утверждение 9.1 29
Если кривая y=y(x) дает экстремум функционалу 29
Пример 9.1 29
A B 29
Решение. 29
Задача сводится к нахождению экстремали функционала 29
ЛИТЕРАТУРА 31
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 32
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. 33