8.Достаточные условия экстремума

Рассмотрим простейшую вариационную задачу

П усть функция F(x,y,y') имеет непрерывную частную производную F''_y'y'(x,y,y') и пусть на кривой y=y(x) выполнены условия Якоби, то есть решения дифференциального уравнения

удовлетворяющие условию u(x₀)=0, не обращаются в нуль ни в какой точке интервала (x₀,x₁). Тогда, если на экстремали y=y(x) выполняется условие F''_y'y'>0 (F''_y'y'<0), то на этой экстремали достигается слабый минимум (максимум). Эти условия называются усиленными условиями Лежандра.

Пример 8.1

Р ешение.

1).Уравнение Эйлера

И спользуем граничные условия

П олучаем экстремаль y=x².

2).Проверим условие Якоби:

F_yy=0, F_yy'=0, F_y'y'=6x³/y'⁴.

На экстремали y = x²:

С оставим уравнение Якоби

О ткуда u(x)=C₁x²+C₂; u(1)=0 C₁+C₂=0,

u(x) - частное решение уравнения Якоби имеет вид:

u(x)=C₁(x²-1)0 при 1<x2 - следовательно, условие Якоби выполнено.

3). F_y'y'=3/8x>0 для 1<x2 , то есть на исследуемой экстремали выполнены условия слабого минимума.

ЗАДАЧИ.

Исследовать на экстремум функционалы:

8.1

8 .2

8 .3

8 .4

8 .5

8 .6

8 .7

8 .8

8 .9

8 .10

8 .11

8 .12

8.13

8 .14

8 .15

8 .16

9. Условный экстремум. Изопериметричекая задача

Пусть даны две функции F(x,y,y') и G(x,y,y').

Среди всех кривых y=y(x), вдоль которых функционал

п ринимает данное значение l , определить ту, для которой функционал

п ринимает экстремальное значение.

Утверждение 9.1

Если кривая y=y(x) дает экстремум функционалу

п ри условиях

и если кривая y=y(x) не является экстремалью функционала К, то существует константа  такая, что кривая y=y(x) есть экстремаль функционала

П ример 9.1

Рассмотрим задачу Дидоны.

Из всех кривых длины l, соединяющих точки A(-a,0) и B(a,0) определить ту, которая вместе с отрезком AB оси OX ограничивает наибольшую площадь. При этом l>2a, a>0.

A B

Решение.

З адача сводится к нахождению экстремали функционала

(функционал площади), где y(-a)=y(a)=0, при условии

( функционал длины) 

Составим вспомогательную функцию H=y+1+y'²

Поскольку она не зависит от x, то решение уравнения Эйлера имеет вид

( см. таблицу в разд.4)

откуда

В ведем параметр y'=tg p, получаем уравнение семейства экстремалей в параметрической форме:

x-C₂=sin p

y-C₁=-cos p.

Исключая параметр p, получаем

(x-C₂)²+(y-C₁)²=².

Следовательно, искомая кривая существует, Это окружность радиуса . Из граничных условий имеем:

В ычитая второе равенство из первого, получим

(a+C₂)²-(a-C₂)²=0 или 4C₂a=0.

Поскольку a>0, то C₂=0.

Не ограничивая общности, предполагаем, что данная кривая лежит над осью OY, поэтому можно записать уравнение окружности в виде

y=C₁²-x² (y>0).

Из этого уравнение находим

подставим его в изопериметрическое условие

О ткуда 2 x arcsin x/=l или a=sin 1/2.

И скомая экстремаль есть дуга окружности x² +(y-a)² =² , радиус которой  и ордината центра C₁ определяется из системы уравнений.

ЗАДАЧИ.

Найти экстремаль функционала при заданных условиях.

9.1

9 .2

9 .3

9 .4

9 .5

9 .6

9 .7

9 .8

9 .9

9 .10

9 .11

9 .12

9 .13

ЛИТЕРАТУРА

1.Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.

М.:Наука,1969.424 с.

2.Гюнтер Н.М., Кузьмин Р.О. Сборник задач по высшей математике. т.III.Гостехиздат,1951.268 с.

3.Краснов М.Л., Макаренко Р.И., Киселев А.И. Вариационное исчисление. Задачи и упражнения. М.:Наука,1973.192 с.

4.Сборник задач по математике для втузов. Методы оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения. Под редакцией А. В. Ефимова.

М.:Наука,1990.304 с.

5.Балашова Г.С., Брин И.А. Методическая разработка по курсу "Высшая математика". Вариационное исчисление. М.:Моск. энерг. ин-т,1987. 40 с.

6.Балашова Г.С., Брин И.А. Методическая разработка по курсу "Высшая математика". Вариационное исчисление и элементы теории оптимального управления. М.:Моск. энерг. ин-т,1988.40 с.

7.Ардова Л.В.Кирпотина Н.В. Вариационное исчисление в задачах и упражнениях. М.:МАИ,1974.80 с.

8.Алексеев В. М., Галеев Э. М. ,Тихомиров В.М. Сборник задач то оптимизации. М.:Наука,1984,288 с.