5.Вариационная задача для функционала, зависящего от производных высшего порядка

Рассмотрим функционал

Т ребуется найти функцию, доставляющую экстремум данного функционала и удовлетворяющую граничным условиям:

y(a)=a₀ y(b)=b₀

y'(a)=a₁ y'(b)=b₁

y''(a)=a₂ y''(b)=b₂

_{………………………………………….}

y^(n-1) (a)=a_n-1 y^(n-1)(b)=b_n-1

Необходимое условие экстремума данной задачи записывается в виде

Э то обыкновенное дифференциальное уравнение называется уравнением Эйлера-Пуассона.

Пример 5.1

Определить экстремаль функционала

у довлетворяющую граничным условиям

y(-e)=y(e)=y'(-e)-y'(e)=0.

Решение.

Так как F_y=, F_y'=0, F_y''=y'',

уравнение Эйлера-Пуассона имеет вид

+(-1)²d²/dx²(y'')=0 или +y''''=0,отсюда

Используем граничные условия

Э кстремаль данного функционала

З аметим, что рассмотренная задача является задачей из теории упругости - нахождение оси изогнутой упругой цилиндрической балки с параметрами  и .

ЗАДАЧИ.

Определить экстремаль функционала, удовлетворяющего граничным условиям.

5.1

5 .2

5 .3

5 .4

5 .5

5.6

5 .7

5.8

5 .9

5 .10

5 .11

5 .12

5 .13

a).y(0)=y'(0)=y''(0)=0, y()= ,y'()=2, y''()=0;

б).y(0)=y'(0)=y''(0)=0 ,y()=y'()=sh ,y''()=ch+1;

в).y(0)=y''(0)=0 ,y'(0)=1, y(1)=y''(1)=sh1, y'(1)=ch1.

6. Вариационная задача для функционалов от нескольких функций

Пусть дан функционал

Т ребуется найти функции y₁(x), y₂(x) ,……..y_n(x), доставляющие экстремум функционала и удовлетворяющие граничным условиям

y₁(a)=a₁ , y₂(a)=a₂,………….y_n(a)=a_n,

y₁(b)=b₁, y₂(b)=b₂,………….y_n(b)=b_n.

Такие задачи возникают, например, в геометрической оптике при нахождении пути, по которому распространяется свет в неоднородной среде.

Необходимые условия экстремума функционала (6.1) называются системой уравнений Эйлера:

П ример 6.1

Найти экстремали функционала

п ри граничных условиях y(1)=1,y(2)=2,z(1)=0,z(2)=1.

Решение.

С оставим систему уравнений Эйлера:

Используем граничные условия:

y(1)=C₁+C₂=1

y(2)=2C₁+C₂=2 C₁=1, C₂=0 y(x)=x.

z(1)=C₃e+C₄e^-1

z(2)=C₃e²+C₄e^-2 C₃=-e^-1/(e^-1-e),C₄=e/(e^-1-e).

z(x)=(-e^-1e^x+ee^-x)/(e^-1-e)= -(e^x-1-e^-(x-1))/(e^-1-e)=sh(x-1)/sh1.

ЗАДАЧИ.

Н айти экстремали функционалов.

6.1

6.2

6 .3

6.4

6 .5

6 .6

6 .7

6 .8

6 .9

6 .10

6 .11

6 .12

6 .13

6.14

6.15

7.Вариационная задача для функционалов от функций нескольких переменных

Рассмотрим функционал

п ричем на границе области  значения функции z(x,y) заданы.

Функцию F будем считать непрерывно дифференцируемой по совокупности всех переменных. Обозначим p=z'_x,q=z'_y.

Необходимое условие экстремума такого функционала - уравнение Эйлера-Остроградского имеет вид

F'_z-(F'_p)'_x-(F'_q)'_y=0.

Для функционала

н еобходимое условие экстремума имеет вид

П ример 7.1

Найти экстремаль функционала

c заданными значениями функции z на границе : z=(x).

Решение.

Необходимое условие экстремума

в месте с граничными условиями получаем задачу:

z''_xx+z''_yy=0,z(x,y)|_=(x).

Это одна из основных задач уравнений математической физики - задача Дирихле.

ЗАДАЧИ.

Написать уравнение Эйлера-Остроградского для функционалов.

7.1

7 .2

7 .3

7 .4

7 .5

7 .6

7 .7