4.Постановка простейшей вариационной задачи. Необходимое условие локального экстремума дифференцируемого функционала. Уравнение эйлера

Пусть функция F(x,y,y') имеет непрерывные частные производные по всем аргументам до второго порядка включительно. Среди всех функций y(x), имеющих непрерывную производную и удовлетворяющую граничным условиям y(a)=A, y(b)=B (4.1)

найти ту функцию, которая доставляет слабый экстремум функционалу

Утверждение 4.1

Д ля того чтобы функционал (4.2) ,определенный на множестве функций, y(x)C[a,b] имеющих непрерывную первую производную и удовлетворяющих граничным условиям (4.1) достигал на данной функции экстремум необходимо, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению Эйлера

Интегральные кривые уравнения Эйлера называются экстремалями. Уравнение Эйлера в развернутом виде

y"F_y'y'+y'F_yy'+F_xy'-F_y=0.

обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.

В таблице приведены специальные случаи интегрируемости уравнения Эйлера.

N	F(x,y,y')	Ур-е Эйлера	Примечание
1	F=ay' 2+2byy'+cy2	ay''-cy=0	Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
2	F=F(y')	y''=0	Экстремали y= с1x+c2- семейство прямых.
3	F=F(x,y')	Fy'(x,y')=C1	Дифференциальное уравнение 1-го порядка f(x,c,y')=0, не содержащее y в явном виде.
4	F(y,y')	F-y'Fy'=C1	Дифференциальное уравнение 1-го порядка f(y,c,y')=0 ,не содержащее x в явном виде.
5	F=F(x,y)	Fy=0	Вариационная задача, как правило, не имеет решения в классе допустимых кривых. Решение существует лишь в том случае, когда F(x,y)=0 удовлетворяет граничным условиям.
6	F=P(x,y)+Q(x,y )y’ Py-Qx0 (не полный дифференциал)	Py-Qx =0	Вариационная задача, как правило, не имеет решения в классе допустимых кривых. Решение существует лишь в том случае, когда кривая удовлетворяет граничным условиям.
7	F=P(x,y)+Q(x,y) y’ Py-Qx=0(полный дифференциал)	Py-Qx=0	Под знаком интеграла стоит полный дифференциал. Функционал не зависит от пути интегрирования. Вариационная задача теряет смысл.

Пример4.1

Определить экстремаль функционала

у довлетворяющую граничным условиям y(0)=1.y(/18)=-1.

Решение.

F=y'²-37yy'-81y²

Уравнение Эйлера y''+81y=0.

k² +81=0,k=+9i,-9i.

Семейство экстремалей y(x)=C₁cos9x+C ₂ sin9x.

Используя граничные условия, получаем C₁ =1;C₂=-1.

Экстремум данного функционала может достигаться лишь на кривой

y=cos9x-sin9x.

Пример4.2

Определить экстремаль функционала

удовлетворяющую граничным условиям y(1)=2,y(3)=0.

Замечание. Эта задача о поиске кратчайшего пути между двумя точками на плоскости.

Решение.

F=F(y'), следовательно, экстремали y=C₁x+C_2.

Используя граничные условия, получаем

 C₁ +C ₂=2

 3C₁+C₂=0.

Отсюда C₁=-1,C₂=3.

Экстремум данного функционала достигается на прямой y=-x+3.

Пример 4.3

Определить экстремаль функционала

у довлетворяющую граничным условиям y(1)=3+3,y(2)=3.

Решение.

. Уравнение Эйлера

О бозначим y'=tg t, тогда x=C₁tg t/sec t=C₁sin t,

dx=C₁cos tdt;dy=tg tdx=tg tC₁cos tdt=C₁sin tdt;y=C₁cos t+C₂.

Таким образом,x=C₁sin t, y=-C₁cos t+C_2.

Исключаем параметр t: x² +(y-C₂)²=C₁².

Используя граничные условия, получаем

1+(3+3-C₂)²=C₁² ;4+(3-C₂)²=C₁².

Отсюда C₁²=4,C₂²=3. 

Экстремум может достигаться на кривой y=3+4-x²

Пример4.4

Определить экстремали функционала

у довлетворяющие граничным условиям y(-4)=5, y(4)=5.

Решение.

У равнение Эйлера

Или 

y=C₁y(1+y'²).

Возведем обе части равенства в квадрат: y²=C₁² y(1+y' ²),y0

(по условию задачи), и сокращая на y , получим y=C₁²(1+y'²).

Обозначим y'=p, тогда y=C₁²(1+p²); dx=dy/p=2pC₁ ²dp/p=2pC₁ ²dp,то есть

dx=2C₁²dp, x=2C₁ ²p+C₂.

Таким образом, x=2C₁ ²p+C₂; y=C₁²(1+p²).

Исключим параметр p из этой системы: p²=(x-C₂)²/4C_1.⁴

Т огда

или

y-C₁ ²=(x-C­₂)²/4C₁⁴

Используя граничные условия

 5-C₁²=(-4-C₂)²/4C₁²

 5-C₁²=(4-C₂)²/4C₁²_.

Получаем C₂=0, 4C₁⁴-20C₁²+16=0. C₁^*2=1, C₁^**2=4.

Экстремум данного функционала может достигаться на двух экстремалях.

y=1-x²/4 и y=4-x²/16.

Пример 4.5

Определить экстремаль функционала

у довлетворяющую граничным условиям y(x₁)=y₁ ,y(x₂)=y₂.

Решение.

F=y²+2xy, F_y=2y+2x.

Уравнение Эйлера y+x=0.

Задача может иметь решение лишь в случаях, когда данная прямая проходит через граничные точки, то есть, выполняются условия y₁=x₁, y₂=x₂.

Пример 4.6

Определить экстремаль функционала

у довлетворяющую граничным условиям y(0)=0, y(1)=y₀.

Решение.

F=P(x,y)+Q(x,y)y'; P_y=6y², Q_x=6x.

Уравнение Эйлера x-y²=0.

Первое граничное условие удовлетворяется.

Второе граничное условие удовлетворяется лишь при y₀=+1

В остальных случаях экстремали, удовлетворяющей граничным условиям, не существует.

Пример 4.7

Определить экстремаль функционала

у довлетворяющую граничным условиям y(/6)=1, y(/2)=2.

Решение.

Выражение под знаком интеграла является полным дифференциалом

P(x,y)=y²cos x; Q(x,y)=2ysin x; P_y=2ycos x; Q_x=2ycos x.Тогда

В еличина функционала не зависит от пути интегрирования. Вариационная

задача теряет смысл.

ЗАДАЧИ.

Найти экстремали функционалов, удовлетворяющие заданным граничным условиям.

4.1

4 .2

4 .3

4 .4

4 .5

4 .6

4 .7

4 .8

4 .9

4 .10

4 .11

4 .12

4 .13

4 .14

4 .15

4 .16

4 .17

4 .18

4 .19

4 .20

4.21

4 .22

4 .23

4 .24

4 .25

4 .26

4 .27

4.28

4 .29

4 .30