2.Линейные функционалы в банаховых пространствах. Норма линейного функционала

Определение 2.1

Функционал F,заданный в банаховом пространстве В называется непрерывным в точке x₀ B, если >0 0 такое, что ||x-x₀||_B< |F(x)-F(x₀)|<.

.Замечание. Здесь норма берется в пространстве, на котором определен функционал.

Определение 2.2

Функционал F,заданные на В, называется линейным непрерывным функционалом (ЛНФ), если он линеен на В и непрерывен в каждой точке В.

Определение 2.3

Функционал F, заданный на В, называется ограниченным, если всякое ограниченное множество М  В он переводит в ограниченное множество из R.

Определение 2.4

Пусть F - ЛНФ в В. Число ||F||=sup|F(x)| называется нормой функционала F.

Замечание. Норму функционала можно также определить еще следующим образом: ||F||=sup{|F(x)|\||x||}, и ||F||=inf{xB :|F(x)|<||x||}.

П ример 2.1

где x(t)- непрерывная функция на [a,b].Это линейный функционал в пространстве C[a,b].Этот функционал ограничен, а его норма равна (b-a).

Действительно,

П ричем при x=const достигается равенство.

ЗАДАЧИ

2.1

Доказать, что следующие функционалы в пространстве C[-1,1] являются линейными и непрерывными, и найти их нормы:

a).F(x)=1/3(x(-1)+x(1));

б).F(x)=2{x(1)-x(0)};

в).F(x)=x(t),где t[a,b]- фиксированная точка;

г).F(x)=_kx(t_k), где _kR, t ₁,t ₂, …..t _n - набор фиксированных чисел;

д ) F_q(x)=(1/2q){x(q)+x(-q)-2x(0)},q[-1,1];е) F(x)=x(-1);

2 .2

Б удут ли ограниченными в пространстве C[0,1] следующие функционалы

2.3

Проверить, являются ли следующие функционалы линейными, непрерывными, и, где возможно, найти их нормы:

в ).F(x)=x(0),x(t)C¹[-1,1]; г).F(x)=x₁,xE^m; д).F(x)=x(0),x(t)C[-1,1];

.

.

с ).F(x)=(a,x),xRⁿ,a=constRⁿ; т).F(x)=x(a),x(t)C[a,b];

3.Дифференцируемые функционалы

Определение 3.1

Функционал F, заданный на В, называется сильно дифференцируемым в точке

x В, если существует такой линейный функционал F_x(h), что  h  B выполняется F(x+h)-F(x)=F_x(h)+(h)||h||, где (h)0 при ||h||0.

Главная линейная часть приращения функционала, то есть F_x(h) называется сильным дифференциалом или дифференциалом Фреше функционала F или вариацией функционала в точке x и обозначается F(x). Сам линейный функционал F_x(h) называется сильной производной в точке x или производной Фреше.

Определение 3.2

Функционал F, заданный на В, называется слабо дифференцируемым в точке x В, если hB существует lim (F(x+h)-F(x))/=d/dF(x+h)|_=0=DF(x,h),

DF(x,h) называется первой вариацией по Лагранжу функционала F в точке x.

Если DF(x,h) линейный непрерывный функционал по h, то его называют слабой производной или производной Гато функционала F в точке x и обозначают F' _xсл.

Определение 3.2 несколько шире определения 3.1,так как существуют примеры функционалов, из приращения которых нельзя выделить главную линейную часть, но производная Гато существует.

Пример3.1

Пусть B=R²,F(x)=F(x₁,x₂)= 0,если x₂x₁²,x₁=x₂;

1,если x₂=x₁².

В точке (0,0) функционал F(x) дифференцируем по Гато:

h=(x₁,x₂), {F(0+h)-F(0)}/=0. Действительно, F(0)=0 и F(0+ h)=0 :||<(h),то есть производная Гато в точке (0,0) равна 0, но F(x) не дифференцируем по Фреше, так как F(x) можно в данном случае рассматривать как функцию двух переменных F(x₁,x₂). Дифференцируемость по Фреше функционала F(x) совпадает с дифференцируемостью функции двух переменных, а из дифференцируемости следует непрерывность функции двух переменных, однако функция F(x₁,x₂) разрывная в точке (0,0), а, следовательно, и функционал F(x) не является непрерывным.

Определение3.3

Функционал G(x,y), определенный x,yB называется билинейным непрерывным функционалом, если он линеен по каждому аргументу, то есть

G (x₁ +x₂,y)=G(x₁,y)+G(x₂,y);

G(x,y₁+y₂)=G(x,y₁)+G(x,y₂);

и существует такое A R и А>0,что ||G(x,y)||< A||x|| ||y||.

Наименьшее из А, удовлетворяющее такому неравенству, называется нормой билинейного функционала и обозначается||G(x,y)||. Полагая в билинейном функционале y=x получим выражение G(x,x), называемое квадратичным функционалом.

Определение 3.4

Функционал F(x), заданный на В называется дважды дифференцируемым по Фреше в точке x, если существует линейный непрерывный функционал F_x(h)и квадратичный непрерывный функционал F_xx(h,h)такие, что  hB выполняется

F(x+h)-F(x)=F_x(h)+1/2F_xx(h,h)+o(||h||²).

Квадратичный функционал F_xx(h,h) называется вторым дифференциалом или второй вариацией и обозначается ²F(x,h).

Вторая вариация по Гато определяется через вторую производную функции

Ф()=F(x+h) в точке, =0 то есть ²F=d ²Ф/d ²|_=0.

Для функционалов интегрального типа обе эти вариации совпадают.

ЗАДАЧИ

3.1

Доказать, что функционал дифференцируем по Фреше, и найти его производную по Фреше:

1).F(x)=a=const,xB;

2).F(x)-линейный непрерывный функционал в B;

3).F(x)=x²(0),x(t)C[-1,1] в точке x(t)=t+1;

4).F(x)=x(a),x(t)C[a,b];

5 ).F(x)=x(a),x(t)C¹[a,b];

3.2

Доказать, что функционал дифференцируем по Гато, и найти его производную по Гато:

а ).F(x)=x(a),x(t)C[a,b];

3.3

Н айти первую вариацию функционала:

3.4

Д оказать, что функционал дважды дифференцируем по Фреше, и найти его вторую вариацию по Фреше:

3.5 Найти вторую вариацию по Гато следующих функционалов

3 .6

Найти вторую вариацию функционалов:

3 .7

Для функционала

п оложить x(t)=2t,x=at² и сравнить F и F при a=1;-0.1;0.01.