37

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

___________________________________________________________________

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Игнатьева Н.У.

ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

И

ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Методческое пособие

по курсу

“Высшая математика”

Под редакцией Н.В.Копчёновой

МОСКВА Издательство МЭИ 1999

Введение

Предлагаемое пособие посвящено важному разделу математики вариационному исчислению. При составлении настоящего задачника автор ориентировался, в основном, на [1],[5],[6], которые соответствуют данной части программы курса высшей математики в МЭИ. Автор признателен редактору доц. Копченовой Н.В. и с.н.с. Судаковой Т.В. за помощь в подготовке настоящего пособия.

1.Линейные нормированные пространства. Понятие полноты. Банаховы пространства

Определение 1.1

Линейным пространством (ЛП) над полем действительных чисел R называется множество L элементов x,y,z….,для которых введены операции сложения и умножения на число R, удовлетворяющее аксиомам

1).x+y=y+x

2).(x+y)+z=x+(y +z)

3).x,yL  yL:x+y=0

4). O_LL:x+O_L=x, xL

5).1x=x,Ox=O_L,1R,OR

6).(x)=()x , ,R

7).(+)x=x+x, ,R

8).(x+y)=x+y, R.

Пример1.1

а) Множество действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения для этого множества. Выполнение аксиом линейного пространства для этого множества вполне очевидно, поэтому на их проверке останавливаться не будем.

б). Множество комплексных чисел с операциями сложения и умножения на число над полем действительных чисел. Это множество также является линейным пространством.

Определение 1.2

Отображение линейного пространства L в R называется функционалом.

Пример 1.2

В линейном пространстве непрерывных на [0,1] функций рассмотрим функ-

Определение 1.3

Функционал называется линейным, если  x,yL.,,R выполняется F(x+y)=F(x)+F(y).

Пример 1.3

Ф ункционал, рассмотренный в примере 2 ,является линейным. Действительно,

не является линейным. Действительно,

Определение 1.4

Суммой двух функционалов F и G называется функционал равный

(F+G)(y)=F(y)+G(y), ссоответственно, произведением функционала на число R называется функционал (F)(y)=F(y).

Пример 1.4

О пределение 1.5

Линейное пространство L называется линейным нормированным пространством (ЛНП), если в нем задан функционал||x||, называемый нормой, удовлетворяющий условиям:

1. ||x||0 при x0,||O_L||=0\(не отрицательность);

2. ||x||=||x\\ (однородность);

3. ||x+y||||x||+||y|| (неравенство треугольника).

Пример1.5

В R ||x||=|x|.

Действительно,1)|x|>0 при x0 и |x|=0 x=0

по определению абсолютной величины.

2. |x|=|x| очевидно

3. |x+y||x|+|y| свойство абсолютной величины.

Заметим, что если в линейном пространстве заданы разные функционалы, удовлетворяющие условиям определения 1.5, то получаются разные линейные пространства.

Определение 1.6

Пусть в линейном пространстве L задано множество L₁. Если при тех же операциях, что и в L, L₁ само является линейным пространством, то L₁ называется линейным подпространством пространства L.

Пример 1.6

C[a.b] - пространство непрерывных функций на отрезке [a,b];

P[a,b]-пространство алгебраических многочленов является подпространством в пространстве непрерывных функций.

Определение 1.7

Пусть B- ЛНП. Множество МВ называется ограниченным, если существует число А0 ,такое, что для всех xМ выполняется ||x||A.

Пример 1.7

Рассмотрим пространство R с нормой элемента x=(x₁,x₂), x=x₁ +x₂

Множество  x1 - ограниченное множество.

x₂

1

x₁

-1 1

-1

Определение 1.8

Пусть {x_n}^_n=1 последовательность элементов из В и xB,тогда говорят, что последовательность {x_n} имеет пределом элемент x в пространстве В, если

lim ||x_n-x||_B=0, то есть lim x_n= x.

Пример 1.8

Рассмотрим пространство C[a,b]. Определим в нем норму ||x||_C[a,b]=max|x(t)|

и зададим последовательность {x_n(t)}^_n=1.

Сходимость в этом пространстве равномерная. Следовательно, предел последовательности непрерывных функций есть непрерывная функция, то есть последовательность сходится в C[a,b].

Определение 1.9

Последовательность {x_n} называется фундаментальной, если lim||x_n-x_k||=0

Пример 1.9

Рассмотрим C[a,b] и пусть {x(t)}^ _n=1 сходящаяся последовательность непрерывных функций, то есть существует непрерывная функция, такая, что

Покажем, что эта последовательность является фундаментальной. Действительно, по свойству нормы 0||x_n-x_m||_C[a,b]||x_n-x||_C[a,b]+||x_m-x||_C[a,b].

Переходя в этом неравенстве к пределу, получим

0  lim||x_n-x_m||_C[a,b]  lim||x_n-x||_C[a,b] + lim||x_m-x||_C[a,b] =0

^{n,m n m}

Отметим, что любая фундаментальная последовательность в C[a,b] является сходящейся.

Определение 1.10

ЛНП называется полным, если всякая фундаментальная последовательность является сходящейся, то есть предельный элемент принадлежит этому пространству.

Полное ЛНП называется банаховым (БП).

Обозначение БП - В. Элементы БП часто называют точками.Отметим, что при различных способах введения нормы одно и то же ЛП может оказаться как полным , так и неполным.

Пример 1.10

П ространство C[a,b], рассмотренное в примере 1.8 является полным. Если же в линейном пространстве непрерывных функций ввести норму

то полученное пространство - неполное. Этим, в частности, и объясняется наличие стандартного обозначения пространства C[a,b] с нормой ||x||=max|x(t)|

и отсутствие стандартного обозначения для линейного пространства непрерывных функций с другой нормой.

ЗАДАЧИ

1.1

Проверить, образуют ли следующие множества линейные пространства:

a). множество векторов x={x₁,x₂,…….x_n}^T - векторное пространство Rⁿ ;

б). множество непрерывных на [a,b] функций - пространство C[a,b];

в). множество ограниченных на [a,b] функций;

г). множество к-раз непрерывно дифференцируемых функций на [a,b];

д). множество непрерывных на вещественной прямой финитных функций (равных нулю вне некоторого интервала, своего для каждой функции);

е). множество вектор-функций x(t)={x(t₁),x(t₂),……..x(t _n)},

непрерывных на[a,b].

1.2

Убедиться, что в следующих случаях выполняются аксиомы норм:

а). Пространство Eⁿ векторов x={x₁,x₂,…..x_n}^T с нормой ||x||=(ⁿ_k=1|x|²)^1/2;

б). пространство Cⁿ векторов x={x₁,x₂,……..x_n}^T с нормой ||x||=max|x_k|;

в). пространство l¹ векторов x={x₁,x₂,…….x_n}^Tс нормой ||x||=ⁿ_k=1|x_k|;

г). пространство l ^p векторов x={x₁,x₂,……..x_n}^Tс нормой ||x||=( ⁿ_k=1|x_k|^p)^1/p;

д). пространство C[a,b] непрерывных функций с нормой ||x||=max|x(t)|;

е). пространство C¹[a,b] непрерывно дифференцируемых функций с нормой

||x||=max|x(t)|+max|x'(t)|;

ж). пространство C^k[a,b] к раз непрерывно дифференцируемых функций

с нормой ||x||_C^k_[a,b]=^k_m=1max|x^(m)(t)|;

з). пространство M[a,b]ограниченных на [a,b] функций с нормой

||x|| _M[a,b]=sup|x(t)|;

и). пространство K непрерывных на вещественной прямой финитных функций (равных нулю вне некоторого интервала, своего для каждой функции) с нормой ||x||_K=max|x(t)|;

к). пространство непрерывных на [a,b] функций с нормой

л ). пространство D[a,b] непрерывно дифференцируемых функций с нормой

||x||=max{|x(t)|+|x'(t)|};

м). пространство D^k[a,b] к раз непрерывно дифференцируемых функций с нормой ||x|| _D^k_[a,b]=max{ ^k_m=1 | x^(m)(t)|};

1.3

Доказать следующие неравенства для норм:

1. 1/m||x||_E^m||x||_l^m||x||_E^m;

2. 1/m||x||_l^m||x||_C^m||x||_l^m;

3. ||x||_E^m||x||_C^mm||x||_E^m.

1.4

Можно ли в линейном пространстве дважды непрерывно дифференцируемых функций на[a,b] принять за норму элемента следующие функционалы:

а).||x||=|x(a)|+|x'(a)|+||x''||_C[a,b];

б).||x||=|x(a)|+|x(b)|+||x''||_C[a,b].

1.5

Можно ли в линейном пространстве непрерывно дифференцируемых на [a,b] функций принять за норму элемента следующие функционалы:

а). ||x|| _a=max|x(t)|;

б).||x||_b=max|x'(t)|;

в).||x||_в=|x(a)-x(b)|+max|x'(t)|;

г).||x||_г=|x(a)|+max|x'(t)|;

д).||x||_d=max|x'(t)|+^b_a|x(t)|dt.

1.6

Образуют ли в пространстве C[-1,1] подпространства следующие множества функций:

а). монотонные функции;

б). четные функции;

в). многочлены;

г). многочлены степени  к;

д). непрерывно дифференцируемые функции;

е). непрерывные кусочно-линейные функции;

ж). функции, удовлетворяющие условию x(0)=0;

з). функции, удовлетворяющие условию ¹_-1x(t)dt=0;

и). функции, удовлетворяющие условию Липшица с постоянной, зависящей от функции. (Напомним, что функция удовлетворяет условию Липшица на отрезке [a,b], если  x, y[a,b] |f(x)-f(y)| M(f)|x-y|, где постоянная М (f) зависит от функции f).

1.7

Проверить, являются ли следующие множества ограниченными:

а). в R ² множество векторов x=(x₁,x₂), таких, что |x_i|1,i=1,2.

б). в С[a,b] множество непрерывно дифференцируемых функций.

1.8

а). Показать, что сходимость последовательности{x_n(t)}^_n=1, где

x₁(t)=(x ¹₁(t),x² ₁(t)……x^m ₁(t)),

……………………….

x_n(t)=(x_n¹(t),x_n²(t),…..x_n^m(t))

в пространствах l ^m ,C^m ,E ^m эквивалентна покоординатной сходимости

limx_nⁱ (t)=x ⁱ(t), 1 im.

б). Показать, что сходимость в пространстве C[a,b] - равномерная сходимость последовательности.

1.9

Проверить, являются ли банаховыми пространства, рассмотренные в задаче 1.2