2.Балансовые модели (модели межотраслевого баланса)

Используется, также термин “затраты- выпуск” (input – output analysis).В таблице представлена модель межотраслевого баланса:

Потребляющие отрасли	1	2	.	.	.	n	X	Y
Производящие отрасли
1	x11	x12	.	.	.	x1 n	x1	y1
2	x21	x22	.	.	.	x2 n	x2	y2
.
.
.
n	x n1	x n2	.	.	.	xn n	x n	y n

1. В первом столбце таблицы перечислены “чистые отрасли”, более или менее цельные (энергетика, металлургия, машиностроение, оборонка и т.д.)

2. В первой строке эти же отрасли представлены, как потребляющие

3. х _{i j} – указывает количество продукции i-й отрасли, израсходованной на нужды j – й отрасли.

4. Столбец Х – совокупный (валовой) продукт каждой отрасли за год.

5. Столбец У - конечный продукт каждой отрасли за год, т.е. продукция, израсходованная на непроизводственные цели – личное потребление граждан, нужды государства и т.п.

ПОЛОЖИМ:

a _{i j} = x_{i j} / x_j - доля продукции i- й отрасли в единице продукции j-й отрасли (коэффициент прямых материальных затрат)

Так а₁₃ = 0,8 означает, что на единицу продукции 3-й отрасли расходуется 80% продукции 1-й отрасли.

Анализ таблицы приводит к следующей системе балансовых соотношений:

Система балансовых соотношений:

x₁ = a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +… a_1n x_n + y₁

x₂ = a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +… a_2n x_n + y₂ (1)

…………………………………..

x_n = a_n1 x₁ + a_n2 x₂ +… a_nn x_n + y_n

В матричной форме (линейная алгебра!) эти соотношения записываются так:

x = Ax + y, (2)

где , А - матрица прямых материальных затрат.

Замечание:

Если для любого столбца у > 0 существует неотрицательное решение системы (1) (а это нам и нужно), то матрица А называется продуктивной. Оказывается, матрица продуктивна, если наибольшая из сумм элементов в столбцах не превосходит единицы, причем для хотя бы одного столбца эта сумма меньше единицы.

Из матричного уравнения (2) сразу следует:

x = (E – A)^-1 y (3)

Формула (3) отвечает на основной вопрос межотраслевого баланса – каким должен быть совокупный продукт каждой отрасли (х=?), чтобы экономическая система в целом произвела заданный государством конечный продукт у.

Правую часть формулы (3) удобно вычислить в EXCEL:

1. Выделить диапазон ячеек для размещения обратной матрицы.

2. На верхней панели нажать f _x.

3. Выбрать функцию МОБР в категории Математические.

4. Указать диапазон ячеек, в которых размещена матрица Е-А.

5. Нажать клавиши CTRL + SHIFT + ENTER

6. Записать результат.

Чтобы умножить полученную обратную матрицу на вектор у нужно

1. Выделить диапазон ячеек для размещения результатов умножения.

2. На верхней панели нажать f _x.

3. Выбрать функцию МУМНОЖ в категории Математические.

4. Указать диапазоны ячеек, в которых размещены матрица (Е-А)^-1 и у.

5. Нажать клавиши CTRL + SHIFT + ENTER

ПРИМЕР 1:

Потребители	металлургия	машиностроение	нефтянка	Х	У
Производители
металлургия	6	36	20	102	40
машиностроение	12	12	20	94	50
нефтянка	22	12	12	56	10

Требуется найти совокупный продукт (Х=?), при котором конечный продукт достигнет уровня

Y=

1. Составляем матрицу прямых материальных затрат

А=

2. Е – А =

3. (Е – А)^-1 =

Чтобы обеспечить требуемый конечный продукт, металлургия должна произвести совокупный продукт в объеме 131, машиностроение- 181,нефтянка- 80.