20. Вероятностные модели

1. Формирование оптимального портфеля акций

Предприниматель в начале года инвестирует 10 у.е. на формирование портфеля акций трех компаний К₁, К₂, К₃. Цена одной акции: 3, 2, 5 у.е., соответственно.

По прогнозам аналитиков, в конце года рынок ценных бумаг может оказаться в одном из состояний S₁ (вероятность 0,4) или S₂ (вероятность 0,6).

Ожидаемые дивиденды (в %) таковы:

Рис. 16

Требуется сформировать оптимальный портфель акций, обеспечивающий максимальный доход.

Составим платежную матрицу (таблицу):

фактор неопредел.	S1 (0,4)	S2 (0,6)	M (EMV)	σ
решение
(3,2,5)	1,16	1,09	1,118	0,034
(3, 3, 2, 2)	0,92	1,38	1,196	0,22
(5, 5)	1,4	0,8	1,04	0,29
(2, 2, 2, 2 ,2)	0,8	1,2	1,04	0,19

Пояснение:

1,16 = 3 * 0,1 + 2 * 0,08 + 5 * 0,14

М - математическое ожидание (средний доход):

0,118 = 1,16 * 0,4 + 1,09* 0,6

σ – среднее квадратическое отклонение (риск)

0,034 = √(1,16)² *(0,4) + (1,09)² * (0,6) – (1,118)²

EMV- expected monetary value

Изобразим точки (М, σ ) в системе координат:

Рис. 17

Ясно, что М должно быть больше (доходность!), а σ меньше (риск!).

Говорят, что одна точка доминирует по Парето другую, если она на графике правее и ниже:

1 3, 1 4, 2 3. Ясно, что

точки 1 и 2 не и доминируются другими. Они и образуют Парето - оптимальное множество. Среди них и нужно выбрать оптимальную.

Возможные подходы:

а) Предоставить окончательный выбор лицу, принимающему решение.

б) Воспользоваться объединяющей взвешивающей формулой:

φ = 2Μ - σ

φ₁ = 2*1,118 - 0,034 = 2,202

φ₂ = 2*1,196 - 0,22 = 2,172

2. Оптимальное поведение на фондовой бирже

Пусть предприниматель рассматривает возможность инвестиции суммы денег S в акции n компаний равными долями. Это значит, что на акции i-й компании выделяется сумма S_i = S/ n.

Пусть X_i –случайная величина- доходность акций i-й компании, тогда случайная величина Х = S₁ X₁ + S₂ X₂ +…S_nX_n доходность портфеля акций. Это одно из основных понятий финансового менеджмента.

Пусть σ_i – риск случайной величины X_i (среднее квадратическое отклонение– корень из дисперсии),

σ₀ = max (σ₁, σ₂, ….σ_n ) , тогда подсчитаем риск финансовой операции Х:

= D (X) = D (S₁ X₁ + S₂ X₂ +…S_nX_n) =

Вывод: при n →∞ (т.е. чем разнообразнее ассортимент акций!) риск финансовой операции стремится к нулю!

Отсюда, золотое правило фондовой биржи: инвестировать деньги не в один вид акций, а составлять портфель разнообразных акций – принцип диверсификации (diversity).

3. Страхование от убытков на фондовой бирже.

Пусть предприниматель имеет акцию, рыночная цена которой на фондовой бирже 100 $.

Однако, из-за возможного падения курса акций в будущем он может понести убытки. Для подстраховки, биржа предлагает купить за 5 $ ценную бумагу- опцион со сроком исполнения 1 месяц. Это значит, что в последний день предстоящего месяца предприниматель, предъявив опцион, сможет продать акцию по той же цене 100 $ независимо от сложившегося курса.

Пусть известен вероятностный прогноз курса:

курс	-10	0	10
вероятность	0,5	0,4	0,1

Модель позволяет ответить на вопрос, выгодна ли покупка опциона. В самом деле:

а) без опциона

Пусть I- прибыль, тогда

I	-10	0	10
p	0,5	0,4	0,1

M (I) = -10*0,5 + 0 + 10*0,1 = -4

D (I) = (-10)² * 0,5 + 0 + 10²*0,1 – (-4)²= 44

σ (I) = 6,6

б) с опционом:

I	-5	-5	5
p	0,5	0,4	0,1

M (I) = -4

D (I) = 9

σ (I) = 3

Во втором случае риск оказался меньше! – Следует, все-таки купить опцион.

В США, опцион – put.

В Англии, опцион – call.