17. Игры с природой

В рассмотренных выше матричных играх каждый игрок действовал вполне разумно, т.е. выбирал оптимальную для себя стратегию. В этом смысле действия игроков были, в каком то смысле предсказуемы.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда ходы одного из игроков (как правило, В) непредсказуемы (состояние рынка ценных бумаг, погодные условия и т.п.). Игры с подобной неопределенностью называют играми с природой.

Как же в таких ситуациях действовать игроку А?

Формально подобная игра также задается платежной матрицей, в которой указываются выигрыши игрока А в зависимости от хода природы, т.е. фактора неопределенности.

Пример 1.

Оптовая база собирается закупить товар для последующей реализации. По оценкам специалистов, спрос в будущем может составить 2, 3, 4 тыс. единиц. Доход от реализации ед. товара составит 10 у.е. Если товар не продастся, то убытки составят 4 у.е. При неудовлетворенном спросе (дефиците) убытки составят 1 у.е.

Составим платежную матрицу (таблицу):

неопределенность решение	2	3	4
2	20	19	18
3	16	30	29
4	12	26	40

Существует несколько критериев принятия решений игроком А.

1. Критерий крайнего оптимизма.

Игрок А считает, что при любом факторе неопределенности ему повезет и он принимает решение по критерию

В нашем случае, = 40, т.е. база закупает 4 тыс. ед. товара.

2. Критерий Вальда

Игрок А ищет не лучшее решение, а лучшее среди худших. Такая позиция отличается осторожностью и разумным пессимизмом. И то и другое не лишнее в экономике.

Критерий:

В нашем случае, = 18, т.е. база закупает 2 тыс. ед. товара.

3. Критерий Гурвица

Этот критерий учитывает как пессимистический, так и оптимистический подходы.

Критерий:

При λ = 1 критерий Гурвица переходит в критерий Вальда,

при λ = 0 - в критерий крайнего оптимизма.

Т.о. λ - коэффициент пессимизма.

Пусть, в нашем случае, λ = 0,7, тогда

= max (0,7*18+0,3*20, 0,7*16+0,3*30),

(0,7*12+0,3*40) = max (18,6, 20,2, 20,4) = 20,4, т.е. база закупает 4 тыс. ед. товара.

4. Критерий Сэвиджа

Поставим вопрос - сколько бы мы потеряли, если бы точно знали фактор неопределенности. Например, если точно известно, что фактор неопределенности равен 2, то при первом решении потери равны 0, во втором решении потери равны 4, а при третьем решении потери равны 8. Практически для отыскания потерь нужно в каждом столбце найти максимальное значение и вычесть из него остальные элементы этого столбца.

Образуем матрицу потерь (рисков, r_ij):

неопределенность решение	2	3	4
2	0	11	22
3	4	0	11
4	8	4	0

Критерий:

В нашем случае, = 8, т.е. база закупает 4 тыс. ед. товара.

5. Критерий Лапласа

Пусть игроку А известны вероятности факторов неопределенности. Тогда рассчитывают математическое ожидание выигрыша при каждой стратегии и из них выбирают наибольшее.

Пусть, в нашем случае вероятности

р₁ = 0,25, р₂ = 0,45, р₃ = 0,30

max (11*0,45 + 22*0,30, 4*0,25 + 11*0,30, 8*0,25 + 4*0,45)=

max (12,1, 4,3, 3,8)=12,1 т.е. база закупает 2 тыс. ед. товара.

Пример 2.

Акционерное общество планирует открыть автосервис для японских и корейских машин. Возможный спрос, по прогнозам, составит 2, 4, 6, 8 т. машин в год. Средняя прибыль от ремонта одного автомобиля составляет 90 $. Убытки, вызванные отказом в обслуживании из- за недостатка мощностей- 50 $ в расчете на одну машину (упущенная прибыль). Убытки от простоя оборудования и механиков -60 $.

Составить платежную матрицу (таблицу) и принять решение о мощности автосервиса по различным критериям.

неопределенность решение	2 т. авт.	4	6	8
2 т. авт.	180	80	-20	-120
4	60	360	260	160
6	-60	240	540	440
8	-180	120	420	720

1. Критерий крайнего оптимизма.

= 720- строить автосервис в расчете на 8 т. автомобилей.

2. Критерий Вальда.

= 60- строить автосервис в расчете на 4 т. автомобилей.

3. Критерий Сэвиджа.

Матрица потерь (рисков).

неопределенность решение	2 т. авт.	4	6	8
2 т. авт.	0	280	560	840
4	20	0	180	560
6	240	120	0	280
8	360	240	120	0

=280 - строить автосервис в расчете на 6 т. автомобилей.

Дополнительное условие:

Отдел маркетинга дал дополнительную информацию о вероятностях того или иного объема спроса: 0,2, 0,3, 0,4, 0,1.

Принять решение с помощью критерия Лапласа.

max (180*0,2 + 80*0,3 - 20*0,4 - 120*0,1; 60*0,2 + 360*0,3 + 260*0,4 + 160*0,1 ; -60*0,2 + 240*0,3 + 540*0,4 + 440*0,1 ; -180*0,2 + 120*0,3 + 420*0,4 + 720*0,1)=

Max (40, 240, 320, 240) = 320 т.е. строить автосервис в расчете на 6 т. автомобилей.

Пример 3.

Итальянская компания “Моцарелла” производит на экспорт сырную пасту упакованную в ящики. Менеджеру компании надлежит решить, сколько ящиков произвести в течение месяца. Вероятность того, что спрос на сырную пасту в течение месяца будет 6, 7, 8, 9 ящиков, равна, соответственно, 0,1, 0,3, 0,5, 0,1. Затраты на производство одного ящика 45 тыс. €. Каждый ящик продается по цене 95 тыс. €. Если ящик не продается в течение месяца то паста портится и компания не получает дохода.

Принять решение по критерию Лапласа.

Составим платежную матрицу (таблицу):

неопределенность решение	6 (вер. 0,1)	7 (0,3)	8(0,5)	9(0,1)	Мат. Ожида-ние Прибы-ли
6	50*6*0,1=30	50*6*0,3= 90	150	30	300
7	(50*6-45)*0,1=25,5	105	175	35	340,5
8	(50*6-2*45)*0,1=21	(50*7-1*45)*0,3=91,5	200	40	352,5
9	16,5	(50*7-2*45)*0,3=78	177,5	45	317

По критерию Лапласа - производить 8 ящиков и ожидать прибыль 352, 5 тыс.

Пример 4

Трубопрокатный завод планирует наладить выпуск труб определенного диаметра. Цена на трубы определяется в результате свободной конкуренции и задается рядом распределения:

Цена	10	15	20
р (вероятность)	0,3	0,5	0,2

Известно, что при выпуске х труб функция издержек такова: с (х) = 1000 + 5х + 0,0025х² . При каком количестве выпускаемых труб средняя прибыль будет максимальной?

M(I) = 10x*0,3 + 15x*0,5+ 20х*0,2 – (1000 + 5х + 0,0025х² ) → max

-0,0025 х² +9,5х -1000 → max

х = 1900.

Пример 5.

Предприниматель планирует построить ресторан недалеко от университетского общежития. Возможные варианты: строить ресторан с пивным баром или без бара. Шансы того, что рынок окажется благоприятным составляют 0,6, неблагоприятным – 0,4.

Расчеты показывают, что план, связанный с баром принесет прибыль 325 тыс. руб. Без бара 250 тыс. руб.

Потери в случае ресторана с баром составят 70 тыс. руб. Без бара 20 тыс. руб. Требуется принять решение по критерию Лапласа.

Составим платежную матрицу:

неопределенность решение	благопр. рынок (0,6)	неблагопр. рынок (0,4)	Матем. ожидание прибыли
Ресторан с баром	325	-70	167
Ресторан без бара	250	-20	142

С баром!

Пример 6.

Компания планирует заказать 10000 электронных реле у одной из двух фирм А или В. Качество продукции фирм характеризуется рядами распределения:

фирма А

% брака	1	2	3
р	0,7	0,2	0,1

фирма В

% брака	1	2	3
р	0,3	0,4	0,3

Бракованное реле можно отремонтировать за 0,5 тыс. руб.

Фирма В дает скидку 37 тыс. руб.

По критерию Лапласа принять решение о выборе поставщика.

1. Пусть случ. величина Х- число бракованных изделий в заказе у фирмы А.

Пусть случ. величина У - число бракованных изделий в заказе у фирмы В.

2. Составим ряды распределения сл. величин Х и У:

Х	100	200	300
р	0,7	0,2	0,1

У	100	200	300
р	0,3	0,4	0,3

3. М (Х) = 140 М (У)= 200

4. Затраты на ремонт от поставщика А: 140*0,5 = 70 тыс. руб.

5. Затраты на ремонт от поставщика В с учетом скидок: 200*0,5 -37= 63 тыс. руб.

Выгоднее выбрать поставщика В.

Пример 7.

Посредническая фирма еженедельно закупает и распространяет химические реактивы. Стоимость закупки ящика 56 $, прибыль от продажи ящика 35 $.

Статистика спроса такова:

Недельный спрос, ящиков	Вероятность
11	0,45
12	0,35
13	0,2

Если закупленный ящик остался непроданным, то фирма уничтожает ящик. Определить, с помощью критерия Лапласа, размер запаса который целесообразно создавать фирме.

Составим платежную матрицу:

неопределенность решение	11 (0,45)	12 (0,35)	13 (0,2)	Матем. ожидание прибыли
11 ящиков	11*35*0,45= 173,25	11*35*0,35= 134,75	77	385
12 ящиков	(11*35-56)* 0,45=148,05	147	84	379,05
13 ящиков	122,85	127.4	91	341,25