16. Биматричные игры.

Выше мы рассмотрели игры с нулевой суммой, в которых интересы игроков прямо противоположны. Тогда оказалось достаточным иметь одну платежную матрицу.

Однако часто встречаются ситуации, в которых интересы двух игроков хотя и не совпадают, но не обязательно противоположны.

В этом случае получаются две платежные матрицы: одна матрица выплат игроку А, другая - матрица выплат игроку В. Подобную игру называют биматричной.

Класс биматричных игр значительно шире матричных игр.

Пример 1.

Небольшая фирма А (игрок А) намерена сбыть партию товара на одном из двух рынков (две стратегии - выбор 1-го рынка, выбор 2-го рынка). Фирма В пытается воспрепятствовать этому, приняв предупредительные меры (например, демпинг) - также две стратегии- меры на 1-м рынке, меры на 2-м рынке.

Аналитики рассчитали две платежные матрицы:

Видно, что, если оба игрока выберут один и тот же рынок, то победа за фирмой В. Если же фирмы уделят основное внимание разным рынкам, то победа за игроком А.

Как же найти оптимальные стратегии игроков?

Согласно теореме Нэша всякая биматричная игра имеет хотя бы одну равновесную ситуацию - когда игрокам невыгодно от нее отступать (тот же принцип, что и в § 12!).

Пусть (р, 1-р) – смешанная стратегия игрока А, (q, 1-q)- смешанная стратегия игрока В.

ПРАВИЛО:

1. с = а₁₁ + а₂₂ – (а₂₁ + а₁₂)

α = а₂₂ – а₁₂

2. Составить систему неравенств:

(р-1)(сq – α) ≥ 0

р (сq – α) ≥ 0 (1)

3. d = b₁₁ + b₂₂ – (b₂₁ + b₁₂)

β = b₂₂ – b₂₁

4. Составить систему неравенств:

(q-1)(dp – β) ≥ 0

q (dp – β) ≥ 0 (2)

5. Изобразив в системе координат ломаные линии, соответствующие решениям неравенств (1) и (2) найти точку их пересечения.

Для нашего примера будем иметь:

с= -10 -1 – (1+2)= -14

α = -1-2 = -3 p=1 → q ≤ 3/14

(р-1)(-14q + 3)) ≥ 0 p=0 → q ≥ 3/14

p (-14q +3) ) ≥ 0 0 < p < 1 → q = 3/14

d= 5 + 1 – (-1-2)= 9

β = 2 q=1 → p ≥ 2/9

(q-1)(9p - 2)) ≥ 0 q=0 → p ≤ 2/9

q (9p - 2) ≥ 0 0 < q < 1 → p = 2/9

Рис. 8

Точка пересечения:

р = 2/9, 1-р = 7/9 – оптим. стратегия А

q=3/14, 1-q = 11/14 – оптим. стратегия В.

Рассчитаем средний выигрыш игрока А:

Для игрока В средний выигрыш 1/3.

Выводы:

1. Фирма а, скорее всего окажется в проигрыше

2. Фирма в, скорее всего, победит

3. Фирме а следует уделять внимание рынкам в соотношении 2:7, т.Е. Существенно большее внимание уделять 2-му рынку.

Пример 2

Студент (игрок А) должен сдать зачет преподавателю (игрок В). У студента две стратегии - подготовиться к зачету и не подготовиться к зачету. У преподавателя также две стратегии - поставить зачет и не поставить зачет.

Платежные матрицы:

Решить биматричную игру самостоятельно!

Пример 3.

Две фирмы- конкуренты продают на рынке один товар. Каждая из них может назначить цену 400 или 600 руб. Если обе назначат цену 400, то каждая может получить прибыль 2 млн. руб. Если обе назначат цену 600, то каждая может получить прибыль 3 млн. руб.

Если одна фирма назначит цену 400, а другая 600, то тот, кто назначит меньшую цену получит 10 млн., а его конкурент 4 млн. Как следует рекомендовать фирмам действовать на рынке?

Рассмотрим данную задачу, как биматричную игру и запишем две платежные матрицы:

с = 5 - 14= -9

α = 3 – 10 = -7 p=1 → q ≤ 7/9

( р -1) (-9q + 7) ≥ 0 p=0 → q ≥ 7/9

p (-9q + 7) ≥ 0 0< p <1 → q = 7/9

d= 5 -14= -9

β = 3 – 10 = -7 q=1 → p ≤ 7/9

(q-1)(-9p +7 ) ≥ 0 q=0 → p ≥7/9

q (-9p + 7) ≥ 0 0 < q < 1 → p = 7/9

p = 7/9, 1- p= 2/9

q = 7/9, 1-q = 2/9

Первые стратегии более вероятны- ставьте цену 400!