11. Задачи нелинейного программирования
Задачи нелинейного программирования характеризуются тем, что нелинейный вид имеют ограничения и целевая функция (в отличие от задач линейного программирования (см. раздел 3)).
1. Графический метод решения (число переменных равно 2).
Пример.
х12 + х22 ≤ 16
х1, х2 ≥ 0 → математическая модель.
F= 2 x1 + 3 x2 → max
а) изображаем область допустимых решений:
Рис. 5
б) изображаем линию уровня F =0
в) из начала координат проводим вектор-градиент. Напомним, что он ортогонален линии уровня и указывает направление возрастания целевой функции (нам это и нужно!).
г) перемещая линию уровня параллельно самой себе находим ту точку области допустимых решений, в которой линия уровня последний раз с ней соприкоснется, т.е. точку касания.
Напомним (матанализ), что точка касания находится приравниванием производных:
2х1 + 3х2 = с → х2 = - (2/3)х1 → х2' = - 2/3
х12 + х22 = 16 → 2х1 + 2х2 х2' =0 → х2' = - х1 / х2
х2 = (3/2) х1→ х12 + (9/4)х12 = 16 → х1 = 8/ √ 13, х2 = 12/ √ 13
Пример.
х1 + 2х2 ≤ 12
х1 + х2 ≤ 9
х1, х2 ≥ 0 → математическая модель.
F=(x1-2)2 + (x2-3)2 → max
2. Классический метод поиска экстремума (матанализ).
Пример 1.
Фирма производит два вида товаров и продает их по ценам 1000 и 800, соответственно. Известна функция издержек:
С= 2х12 + 2х1 х2 + х22, где х1, х2 – объемы выпуска товаров каждого вида.
Менеджеру фирмы требуется составить оптимальный план выпуска товаров, обеспечивающий максимальную прибыль.
Составим целевую функцию (прибыль):
F = 1000 x1 + 800 x2 – 2x12 - 2х1 х2 - х22 → max
Находим стационарные точки, т.е. составляем и решаем систему:
M(100,300) – стационарная точка.
Исследуем эту точку:
, 
, 
→М
– точка экстремума (максимума!)
Итак, план выпуска таков: x1=100, x2=300.
Пример 2.
Металлургический завод реализует часть проката на внутреннем рынке, а другую часть поставляет на экспорт. Пусть х1, х2 – количество реализуемой продукции на внутреннем рынке и на экспорт, соответственно.
Известны функции спроса в обеих случаях, т.е. зависимости цен от количества продукции:
р1 = 500 – х1, р2 = 360 – 1,5 х2.
Функция издержек С= 50000 + 20(х1 + х2).
Коммерческий директор завода должен составить оптимальный план производства проката исходя из максимума суммарной прибыли.
Образуем функцию прибыли:
F = (500 – х1) х1 + (360 – 1,5х2) х2 – 50000 – 20(х1 + х2) → max
Находим стационарные точки, т.е. составляем и решаем систему:
M(240,340/3) – стационарная точка.
Исследуем эту точку:
, 
, 
→М
– точка экстремума (максимума!)
Итак, план выпуска проката таков: x1=240, x2=340/3.
12. Игры двух лиц с нулевой суммой
Теория игр изучает математические модели принятия решений в условиях конфликта. Практические ситуации, в которых присутствуют игровые аспекты весьма разнообразны и их изучение оказывает большую помощь в народнохозяйственной деятельности людей.
В экономике игровые модели возникают, например, при попытке нескольких фирм завоевать наиболее выгодное место на конкурентном рынке или при желании нескольких компаний разделить финансовые средства между собой так, чтобы каждому досталось как можно больше.
Конечной целью исследования любой игры является нахождение оптимальных стратегий игроков и их выигрышей, соответствующих этим стратегиям.
Наиболее изучены игры двух лиц с нулевой суммой. Это означает:
1) наличие двух игроков (условно: А и В, или, нападающий и защитник)
2) наличие у каждого игрока конечного числа ходов, называемых также стратегиями.
3) Игроки одновременно и независимо выбирают стратегии, после чего игра (партия) заканчивается и каждому игроку выплачивается выигрыш, причем сумма выигрышей равна нулю.
4) Все возможные выигрыши игрока А перечисляются в платежной матрице:
Почему нет матрицы игрока В?
Строки матрицы соответствуют стратегиям игрока А, столбцы - стратегиям игрока В.
Как же должны действовать игроки?
Рассмотрим пример платежной матрицы:
Если игрок А выберет 1-й ход, то в наихудшем для него случае игрок В сделает 3-й ход. Если игрок А сделает 2-й ход, то игрок В ответит 1-м ходом и т.д. Предвидя подобное, игрок А будет стремиться максимизировать минимальный выигрыш. Т.е. выбирать стратегию из условия: max (min ai j).
Обозначим α = max (min ai j) и назовем нижней ценой игры.
(практически - в каждой строке матрицы ищется минимум и из них выбирается максимум).
α можно назвать также гарантированным выигрышем игрока А.
Встанем на точку зрения игрока В. Рассуждая аналогично, он будет выбирать стратегию из условия min (max ai j).
Обозначим β = min (max ai j) и назовем верхней ценой игры.
(практически - в каждом столбце матрицы ищется максимум и из них выбирается минимум).
β можно назвать также гарантированным проигрышем игрока В.
Заметим, что в нашем примере α = β = 4. Подобную игру называют игрой с седловой точкой (она выделена в матрице).
Стратегии, соответствующие седловой точке (3-я для А и 2-я для В) и будут оптимальными. Почему?
В самом деле, если игрок А отклонится от оптимальной стратегии, выбрав, например 4-й ход, игрок В ответит ему 3-м ходом, уменьшив выигрыш А до 2 и т.д.
Пара оптимальных стратегий (3,2) является, как бы равновесной парой (на языке теории игр - равновесие по Нэшу).
Замечание: наличие в игре седловой точки - далеко не правило, скорее исключение. Тем не менее, существует класс игр, заведомо имеющих седловую точку - игры с полной информацией (шахматы, крестики-нолики).