5.1 Метод фундаментальної матриці системи
Систему диференційних рівнянь (4.1) подамо в матричній формі:
(5.2)
де
Спочатку розглянемо скалярне однорідне рівняння
Воно матиме такий розв'язок:
Розв'язок відповідного матричного однорідного рівняння:
(5.3)
будемо шукати в аналітичному вигляді:
(5.4)
де
- матрична експоненціальна функція, яку
можна визначити таким чином:
де І - одинична матриця.
Матрицю
називають фундаментальною матрицею.
Розв'язок рівняння (5.2) будемо шукати у вигляді
(5.5)
Для знаходження часткового розв'язку скористаємося методом варіацій параметрів. Тобто функцію хр шукатимемо у вигляді:
(5.6)
де K(t) - невідома функція, яка підлягає визначенню
Продиференціювавши рівняння (5.6) за змінною t, знаходимо:
Оскільки частковий розв'язок
рівняння (5.2), то він повинен задовольняти
це рівняння. Підставляючи значення
в (5.2), отримуємо
або
Оскільки Ф(t) один із можливих розв'язків однорідного рівняння (5 2), то вираз, що знаходиться в квадратних дужках дорівнює нулю.
Отже,
або
Звідси знаходимо
де
- змінна інтегрування. Тобто
Знаючи хр знайдемо загальний розв'язок рівняння (5.2)
Або враховуючи те, що Ф(t)=eAt, отримаємо
Якщо в останньому виразі матрицю внести під знак інтегралу, то одержимо
(5.7)
Фундаментальну матрицю Ф(t) можна знайти перетворивши рівняння (5.3) за Лапласом:
Звідси найдемо
(5.8)
Застосувавши до обох частин рівняння (5.8) зворотне перетворення Лапласа, одержимо
(5.9)
Порівнюючи рівняння (5.4) і (5.9) приходимо до висновку, що
(5.10)
Наведений метод є найбільш зручний при розв'язку багатьох задач. Очевидно, що основна трудність полягає в знаходженні матриці оберненої до [Ір-А].
5.2 Метод матричної передавальної функції
Цей метод дає можливість безпосередньо знайти X(t), застосувавши перетворення Лапласа до рівняння (4.4)
(5.11)
У випадку, коли об'єкт описується рівнянням (4.1), матимемо
або
(5.12)
(5.13)
Якщо U1(t) і U2(t) функції, які задаються рівнянням (5.1), то
(5.14)
Зворотне перетворення Лапласа рекомендується обраховувати, використавши теорію лишків Нехай Х(р) дробово-раціональна функція
така, що
,
а Pij-ті
полюси серед яких є кратні кратності
s. Тоді
де n - кількість полюсів функції Х(р), включаючи і кратні.
Лишки для простих полюсів знаходимо за формулою
або
де R(p) і Q(p) - відповідно чисельник і знаменник функції Х(р), Q'(p)=dQ(p)/dp.
А для кратних коренів кратності s матимемо:
.
ВИХІДНІ ДАНІ ДЛЯ КУРСОВОЇ РОБОТИ
Таблиця Б-1 – Вихідні дані
№ п\п |
Номер рисунка |
Витрата Q, кг\с |
Н(0), м |
Тиск, МПа |
Температура, °С |
Геометричні розміри, м |
I(0), A |
||
Р1 |
Т1 |
Т(0) |
L |
D |
|||||
1 |
Рисунок 1 |
20,87 |
0,6 |
0,13 |
15 |
83 |
- |
0,8 |
111,25 а=0,1 |
2 |
Рисунок 2 |
25,48 |
0,7 |
0,2 |
14 |
92 |
- |
1,0 |
129,02 |
3 |
Рисунок 3 |
10 |
0,7 |
- |
11 |
73 |
- |
0,9 |
71,34 |
4 |
Рисунок 4 |
23,09 |
0,75 |
0,17 |
17 |
80 |
1,4 |
1,0 |
111,49 а=0,15 |
5 |
Рисунок 5 |
18,32 |
1,6 |
0,15 |
15 |
85 |
1,8 |
0,9 |
109,24 |
6 |
Рисунок 6 |
21,63 |
1,1 |
0,16 |
10 |
70 |
1,4 |
1,2 |
99,4 |
7 |
Рисунок 7 |
16,59 |
1,0 |
0,12 |
12 |
65 |
1,2 |
0,6 |
82,58 |
№ п\п |
Номер рисунка |
Геометричні розміри, м |
Витрати, кг\с |
Номн. рівень, м |
Температура, °С |
Тиски, МПа |
||||
L |
D |
Q1 |
Q2 |
H(0) |
T(0) |
T1 |
P1 |
P2 |
||
8 |
Рисунок 8 |
- |
1,7 |
23 |
21,78 |
1,0 |
60 |
19 |
- |
0,23 а=0,4 |
9 |
Рисунок 9 |
- |
1,5 |
16,37 |
20,6 |
0,97 |
52 |
13 |
0,14 |
0,25 а=0,2 |
10 |
Рисунок 10 |
- |
2,4 |
25,37 |
18,05 |
1,9 |
45 |
14 |
0,21 |
0,16 |
11 |
Рисунок 11 |
- |
1,8 |
17 |
24,7 |
1,25 |
61 |
10 |
- |
0,2 |
12 |
Рисунок 12 |
2,2 |
2,0 |
20,82 |
21,2 |
1,7 |
63 |
8 |
0,16 |
0,11 |
13 |
Рисунок 13 |
1,4 |
1,2 |
13 |
18,66 |
1,1 |
55 |
2 |
- |
0,15 |
14 |
Рисунок 14 |
2,0 |
1,6 |
14,1 |
19,25 |
1,2 |
70 |
19 |
0,08 |
0,13 |
15 |
Рисунок 15 |
1,5 |
0,8 |
15,18 |
21 |
0,8 |
60 |
21 |
0,1 |
- |
16 |
Рисунок 16 |
- |
1,2 |
1,7 |
25 |
1,0 |
23 |
50 |
0,2 |
- |
№ п\п
|
Номер рисунка |
Геометричні розміри ємності, м |
Тиски, МПа |
Витрати, кг\с |
Номін. значення Н1, Н2, м |
||||||||
L1 |
D1 |
L2 |
D2 |
P0(I) |
P0(II) |
P1 |
P2 |
Q1(0) |
Q2(0) |
H1(0) |
H2(0) |
||
17 |
Рисунок 17 |
2,25 |
2,0 |
2,6 |
2 |
0,12 |
0,2 |
0,18 |
0,27 |
9,89 |
13,0 |
1,6 |
1,4 |
18 |
Рисунок 18 |
1,8 |
1,6 |
2,1 |
1,6 |
0,51 |
- |
0,6 |
- |
15,62 |
14 |
0,95 |
1,2 |
19 |
Рисунок 19 |
2,3 |
1,2 |
2,0 |
1,2 |
0,04 |
- |
0,1 |
- |
10,37 |
7 |
0,7 |
0,5 |
20 |
Рисунок 20 |
1,9 |
1,0 |
1,7 |
1,0 |
- |
0,3 |
- |
0,35 |
12 |
9,23 |
0,6 |
0,4 |
21 |
Рисунок 21 |
2,0 |
1,5 |
2,2 |
1,5 |
- |
0,18 |
- |
0,2 |
8 |
5,49 |
1,1 |
0,9 |
22 |
Рисунок 22 |
1,6 |
0,66 |
1,3 |
0,9 |
0,24 |
0,02 |
0,31 |
0,12 |
16,2 |
17,4 |
0,8 |
0,4 |
23 |
Рисунок 23 |
1,7 |
0,9 |
2,7 |
1,7 |
0,17 |
0,29 |
0,28 |
0,39 |
17,73 |
17,8 |
1,0 |
1,2 |
24 |
Рисунок 24 |
2,3 |
1,7 |
2,0 |
1,4 |
- |
0,35 |
- |
0,5 |
9,5 |
19,57 |
1,7 |
0,85 |
25 |
Рисунок 25 |
2,5 |
1,2 |
1,9 |
1,1 |
- |
0,3 |
- |
0,4 |
15 |
17,29 |
2,0 |
0,6 |
26 |
Рисунок 26 |
3,0 |
1,2 |
3,0 |
1,5 |
- |
- |
- |
0,19 |
16 |
21,87 |
2,4 |
2,0 |
27 |
Рисунок 27 |
1,1 |
0,5 |
1,1 |
0,6 |
- |
- |
- |
0,01 |
12 |
3,3 |
0,6 |
0,7 |
28 |
Рисунок 28 |
1,5 |
0,6 |
1,5 |
0,6 |
- |
- |
0,04 |
- |
9,04 |
10 |
1,0 |
0,7 |
29 |
Рисунок 29 |
2,1 |
0,8 |
2,1 |
0,7 |
- |
- |
0,08 |
- |
13,9 |
21 |
1,4 |
1,15 |
30 |
Рисунок 30 |
2,0 |
0,55 |
2,0 |
0,65 |
0,17 |
- |
0,25 |
- |
12,27 |
11 |
1,2 |
1,5 |
31 |
Рисунок 31 |
2,6 |
0,9 |
2,6 |
1,2 |
- |
- |
0,22 |
0,2 |
25,64 |
25 |
1,8 |
1,5 |
32 |
Рисунок 32 |
1,4 |
0,7 |
1,4 |
0,5 |
- |
- |
0,11 |
0,14 |
19,86 |
21,97 |
0,75 |
0,6 |
33 |
Рисунок 33 |
1,6 |
0,5 |
1,6 |
0,9 |
0,16 |
0,2 |
0,2 |
0,25 |
10,76 |
12,12 |
0,8 |
1,2 |
34 |
Рисунок 34 |
2,4 |
0,9 |
2,4 |
0,6 |
0,2 |
0,13 |
0,26 |
0,19 |
12,4 |
20,02 |
1,3 |
1,9 |
35 |
Рисунок 35 |
1,5 |
0,6 |
1,5 |
0,7 |
- |
0,15 |
- |
0,21 |
20 |
11 |
0,9 |
1,1 |
36 |
Рисунок 36 |
2,0 |
0,7 |
2,0 |
0,4 |
- |
- |
- |
- |
15 |
9 |
1,5 |
1,0 |
37 |
Рисунок 37 |
2,0 |
1,0 |
1,5 |
0,9 |
- |
- |
- |
- |
13 |
17 |
0,6 |
1,0 |
38 |
Рисунок 38 |
2,2 |
1,5 |
1,8 |
0,95 |
- |
- |
- |
- |
17 |
14 |
1,0 |
1,3 |
39 |
Рисунок 39 |
2,6 |
1,0 |
2,4 |
1,0 |
- |
- |
- |
- |
22 |
15 |
0,5 |
0,55 |
№ п\п |
Номер рисунка |
Геометричні розміри ємності, м |
Витрати кг\с |
Номін. Значення , м |
|||||
L1 |
D1 |
L2 |
D2 |
Q |
Q1 |
H1(0) |
H2(0) |
||
40 |
Рисунок 40 |
- |
2,3 |
1,8 |
0,6 |
15 |
5 |
1,9 |
1,2 |
41 |
Рисунок 41 |
- |
1,9 |
- |
2,8 |
40 |
21 |
1,5 |
2,0 |
42 |
Рисунок 42 |
2,1 |
1,5 |
- |
1,5 |
12 |
5 |
1,7 |
0,96 |