З Лінеаризація математичної моделі ко

Процес лінеаризації нелінійного рівняння виконується шляхом розкладання нелінійних функцій, що входять в це рівняння в ряд Тейлора. Лінеаризація буде правильно описувати процеси, що відбуваються, якщо відхилення вихідної величини від рівноважного спіну буде невеликим. Це означає, що величинами, які мають порядок вище першого, можна знехтувати. Така ситуація має місце в автоматичних системах керування.

Як приклад, розглянемо лінеаризацію рівняння (2.8), в якому є дві нелінійні функції (Р₁=const)

(3.1)

(3.2)

Тоді

і

де індекс "0" відноситься до усталеного режиму.

Враховуючи значення і , матимемо

,

Тоді рівняння (2.8) набуде такого лінеаризованого вигляду

Оскільки в усталеному режимі то

Де

Таким чином, ми одержала лінеаризований аналог рівняння (2.8) за умови, що відхилення U₁, Н₁, Н₂ величин U₁, H₁, H₂ від їх значень U₁, Н₁, Н₂ в усталеному режимі невеликі.

4 Визначення матричних передавальних функцій моделі

Матриця W(P), елементи передавальної функції W_ij(P) і-го виходу відносно j-гo входу, називається матричною передавальною функцією. Матриця W(P) має розмір , де n - кількість змінних стану об'єкта, a m - кількість входів.

Матричні передавальні функції в випадку багатозв'язних систем, знайшли широке використання в інженерній практиці, це пояснюється двома причинами По-перше, матричні передавальні функції дають можливість оперувати з алгебраїчними, а не з диференціальними рівняннями, а по-друге, матрична передавальна функція дозволяє зменшити розмірність задачі.

Нехай КО описується системою лінійних диференціальних рівнянь:

(4.1)

Систему рівнянь (4.1) перетворимо за Лапласом при нульових початкових умовах

(4.2)

Як приклад, визначимо W₁₂(P). Прирівнюємо до нуля U₁(р) і одержуємо систему рівнянь:

з якої визначаємо

або

.

Отже

Аналогічно можуть бути знайдені інші передавальні функції Wij(P). В результаті можна отримати матричну передавальну функцію КО

(4.3)

яка повністю характеризуватиме динамічні властивості керованого об'єкта, який описується

системою рівнянь (4,1). Знаючи W(P), математичну модель керованого об'єкта запишемо в такій формі:

(4.4)

де Х(Р) - матриця стовпець з елементами X1(P), Х2(Р), a U(P) — відповідно матриця стовпець з елементами U1(P), U2(Р).

5 Дослідження лінеаризованої математичної моделі керованого об'єкту

Для того, щоб мага наглядне уявлення про динамічні властивості об'єкту необхідно визначити закон зміни вихідних величин КО при нульових початкових умовах і заданих вхідних впливів.

Вхідні впливи для всіх варіантів задач задаються у вигляді ступінчастих функцій:

(5.1)

де А_і- величина, значення якої лежить в межах [0, і] u_i(0) - номінальне значення і - тої вхідної величини. Закон зміни вихідних величин можна знайти двома шляхами: через фундаментальну матрицю і застосувавши перетворення Лапласа безпосередньо до рівняння (4.4).