Алгоритм метода факторизации
Оцениваем тип уравнения – гипергеометрическое (5.4), или обобщенное гипергеометрическое (5.5). В других случаях приводим уравнение к стандартному виду путем замены аргумента и/или функции.
Сравниваем коэффициенты уравнения с коэффициентами в (5.5) или в (5.4) и находим функцию
,
параметры
,
функции
и
.
Граничные условия (5.10) доопределяют δ и η, или A и B.
Весовую функцию находим из (5.8).
Решение уравнения получаем из (5.7) или (5.9).
Условие ортонормированности находим из (5.11).
Вычисляем
из (5.16–17). Из (5.15) или (5.18) находим
производящую функцию.
Пример 1 Уравнение Эрмита
1.
Уравнение относится к гипергеометрическому
типу, поскольку
,
,
.
2. Сравнение с (5.4)
-
,
,
, ,
,
дает систему алгебраических уравнений
,
,
.
Получаем
,
,
,
,
,
,
,
.
3. Из (5.10)
с учетом
находим границы области определения решений
,
.
4. Из (5.8)
находим весовую функцию
.
(П.3.1)
5. Из (5.9)
получаем решение уравнения в форме Родрига
.
(П.3.2)
При
получаем решение, называемое полином
Эрмита:
.
(П.3.3)
6. Из (5.11) и (5.13)
-
,
, ,
с учетом
,
,
, ,
,
,
находим условие ортонормированности
.
(П.3.4)
7. Из (5.16)
с учетом находим
.
Из (5.17)
-
,
,
С учетом получаем производящую функцию
,
.
(П.3.5)
Пример 2 Уравнение линейного гармонического осциллятора в квантовой механике
.
Уравнение относится к обобщенному гипергеометрическому типу с коэффициентами
,
,
.
Сравнение с (5.5)
дает
,
,
,
тогда
,
,
,
,
,
.
Из (5.6)
-
,
,
,
получаем систему алгебраических уравнений и находим
, , ,
,
.
Из (5.10)
следует
, .
Из (5.8) получаем
.
Из (5.7)
находим
.
(П.3.6)
где – полином Эрмита.
Из (5.11) и (5.13)
-
,
, ,
с учетом
находим условие ортонормированности
,
(П.3.7)
Из (5.16)
находим
.
В (5.15)
подставляем
,
,
получаем
,
.
(П.3.8)