ОБЫКНОВЕННЫЕ ОДНОРОДНЫЕ

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВТОРОГО ПОРЯДКА

Состояние многих практически важных систем описывается функцией , которая удовлетворяет линейному однородному дифференциальному уравнению второго порядка

, (5.1)

где

– оператор дифференцирования, , ;

– функции коэффициентов, ;

– решение уравнения, .

Физические законы механики, гидро- и аэродинамики, электромагнетизма, квантовой механики приводят к уравнению (5.1). В зависимости от конкретной системы меняются функции коэффициентов.

Решениями уравнения (5.1) с конкретными функциями коэффициентов являются специальные функции математической физики, образующие ортонормированные базисы функций:

1. Классические ортогональные полиномы;

2. Сферические функции;

3. Цилиндрические функции;

4. Гипергеометрические функции.

Основные определения и понятия

Обыкновенное дифференциальное уравнение содержит искомую функцию одного аргумента и ее производные в противоположность уравнению в частных производных, где число аргументов два и более.

Линейное уравнение содержит искомую функцию и ее производные в первой степени. Это обеспечивает выполнение принципа суперпозиции – разные состояния не влияют друг на друга и при наложении складываются. В результате, если и – решения уравнения, то решением является и их линейная комбинация , где и – постоянные.

Порядок уравнения равен наибольшей кратности дифференцирования .

Однородное уравнение не содержит слагаемого, свободного от , которое записывается в правой стороне (5.1). Однородное уравнение описывает развитие системы самой по себе, без участия внешних источников и возмущений. Решение однородного уравнения определяется с точностью до умножения на постоянный множитель.

Частные решения. Уравнение второго порядка имеет два линейно независимых частных решения и , причем

.

Общее решение является линейной комбинацией частных решений

с произвольными коэффициентами и .

Единственность решения достигается нахождением с₁ и с₂ из граничных условий, накладываемых на решение в точках А и B на границах интервала определения аргумента .

Однородное граничное условие для точки А имеет вид

, (5.2)

где и – параметры.

Пример

Для волны в струне смещение в точке x из положения равновесия в некоторый момент времени удовлетворяет уравнению

, .

Возможные граничные условия в точке A:

– конец струны закреплен;

– свободный конец;

– упруго связанный конец.

Задача Штурма–Лиувилля. Требуется решить уравнение (5.1) с граничными условиями (5.2) и вещественными и .

Методы решения, используемые далее:

1) Точное решение методом факторизации;

2) Приближенное решение путем разложения решения в степенной ряд по аргументу и/или по малому параметру.

Метод факторизации Идея метода факторизации

Факторизация – приведение выражения к виду произведения структурных единиц, от англ. factor – ‘сомножитель’.

Уравнение (5.1)

рассматривается как уравнение

, (5.3)

на собственную функцию линейного дифференциального оператора

.

В уравнении (5.3)

– собственное значение оператора для функции ;

– номер решения.

Метод факторизации выражает оператор второго порядка в виде произведения операторов первого порядка дифференцирования

,

где

– оператор рождения состояния;

– оператор уничтожения состояния.

Решение факторизуется

,

где – функция вакуума. В результате состояние системы возникает из состояния вакуума под действием операторов рождения.

Метод факторизации используется далее для решения двух типов уравнений – гипергеометрического типа и обобщенного гипергеометрического типа, имеющих важные практические применения. Термин гипергеометрический содержит корень от греч. υπέρ – ‘превышение нормы’. На первых этапах развития математики гипергеометрической называлась функция, которая разлагалась в ряд, более сложный, чем геометрическая прогрессия. Набор решений для указанного типа уравнений образует ортонормированный базис функций.