18. Описание цифровых систем управления в пространстве состояний: последовательная и параллельная схемы.

Дифференциальные уравнения высокого порядка могут быть представлены в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка. Разностные уравнения также подчиняются этому правилу. Покажем это на примере разностного уравнения (8.12) при m=2:

(8.26)

Введем переменные состояния g₁(n), g₂(n) и по аналогии с (2.11) и (2.12) запишем

(8.27)

причем (8.28)

. (8.29)

Докажем эквивалентность уравнений (8.27) и (8.28) исходному разностному уравнению (8.26) и установим связь между коэффициентами a_i, b_i, и B_i.

Из (8.27) имеем:

(8.30)

Из (8.28) с учетом (8.30) имеем:

Тогда из (8.27) с учетом (8.28) и (8.29) получим:

(8.31)

Из сопоставления правых частей двух разностных уравнений (8.26) и (8.31) получим связь между коэффициентами a_i, b_i и B_i

откуда

При порядке уравнения m=3 имеем:

откуда

Из этих формул легко просматривается общая закономерность получения соотношений между коэффициентами a_i, d_i и B_i при любом порядке разностных уравнений m.

Если системная функция W(z) представлена положительными степенями z в виде:

(8.32)

причем a_m=1, тогда соотношения между коэффициентами a_i, b_i и B_i получается такими же, как в разделе 2.5.

Система разностных уравнений (8.28) и (8.29) в общем виде может быть представлена в векторной форме

где - вектора размером 1*m на n-ом и n+1-ом тактах

- вектор управления размером 1*m,

- матрица цифровой системы размером mm.

Выходной сигнал y(n) вычисляется по выражению (8.27), которое также можно записать в векторной форме

где - вектор наблюдения размером 1m , Т- символ транспонирования.

Если функцию (8.32) представить в виде

(8.32)

где B_i- коэффициенты, z_i- полюсы W(z), то цифровую систему можно описать в пространстве состояний по параллельной схеме, как в разделе 2.6.

19. Модели и характеристики случайных сигналов. Прохождение случайных сигналов через линейные звенья.

20. Задачи оптимального управления. Критерии оптимальности и целевые функции.

Рассмотрим одномерный объект управления, движение которого описывается уравнением

(1),

где x – состояние объекта,

u – сигнал управления,

t – время,

φ – заданная функция, которая предполагается непрерывной и необходимое число раз дифференцируемой по x,u, и t.

В уравнении (1) управление u является неизвестной функцией времени, которая определяется исходя из следующих условий:

а) Задано начальное и конечное состояние объекта управления

, (2)

(3)

где t₀ и t₁ – времена начала и конца функционирования объекта.

Часто краевые условия (2) и (3) имеют более общий вид:

• моменты времени t₀ и t₁, не заданы (либо один из них не задан), тогда говорят о задаче с нефиксированным временем;

• не задано начальное состояние x₀ (задача со свободным левым концом траектории) с фиксированным или нефиксированным временем;

• не задано конечное состояние x₁ (задача со свободным правым концом);

• не заданы x₀ и x₁, но задано множество их возможных значений (задача с подвижными концами).

б) Эффективность управления оценивается с помощью интеграла

(4)

где φ(x,u,t) – заданная непрерывная функция.

Будем полагать, что эффективность управления тем выше, чем меньше значение этого интеграла. Тогда выражение (4) примет вид

(5)

где U – множество допустимых сигналов управления.

Выражение (5) называется критерием оптимальности.

в) На сигналы управления и переменные состояния накладываются ограничения, выражающие ограниченные ресурсы управления и допустимые пределы изменения переменных состояния.

Часто эти ограничения имеют вид:

где x^* и u^* - заданные предельные значения переменных x и u.

Задачу оптимального управления можно сформулировать следующим образом:

Необходимо найти оптимальные сигналы управления при которых объект (1) переводится из состояния (2) в состояние (3), выполняются ограничения (6) и при этом функционал (4) принимает наименьшее значение. Функцию называют оптимальным программным управлением.

Критерий оптимальности

Критерии оптимальности типа (5) называется скалярными, если они представляют только один частный критерий из совокупности всех критериев, характеризующих качество систем управления. Различают три вида критериев оптимальности:

1. критерий оптимальности по – быстродействию;

2. критерий оптимальности по – точности;

3. все остальные критерии.

В качестве критерия оптимальности по быстродействию может быть принято время переходного процесса:

(7)

Полученная при этом система является оптимальной по быстродействию, если обеспечивается минимум интеграла (7) с учетом ограничений.

В качестве критерия оптимальности по точности может быть интегральная оценка качества переходного процесса.

(8)

где Δx – отклонение фактического состояния x от заданного .

Полученная по минимуму интеграла (8) система является оптимальной по точности в динамических режимах при ненулевых начальных условиях или единичном воздействии.

В качестве критерия оптимальности, относящегося к третьему виду, можно использовать критерий, характеризующий расход энергии на управление. Для электрического источника энергии он будет иметь вид

(9)

где и - напряжение и ток нагрузки источника.

Полученная из условия минимума функционала (9) система является оптимальной по расходу энергии на управление.