16. Описание цифровых систем управления разностными уравнениями.

Связь разностных уравнений с дифференциальными уравнениями.

Дифференциальные уравнения применимы для аналоговых систем, а цифровые системы описываются разностными уравнениями. В разностных уравнениях время изменяется через конечный временной интервал Т, называемый периодом дискретизации.

Покажем на примере, как от дифференциального уравнения переходят к разностному уравнению.

Инерционное звено с передаточной функцией

описывается дифференциальным уравнением, следующим из соотношения

, откуда Y(p)  (1+pa) = X(p), тогда

Так как ,

то введя в дифференциальное уравнение дискретное время nT вместо t, получим следующее разностное уравнение , или

Этим уравнением описывается цифровое инерционное звено первого порядка.

Системные функции W(z) цифровых звеньев можно представить в двух формах:

с положительными степенями z в виде

, (8.10)

с отрицательными степенями z, которая получается из (8.10) умножением числителя и знаменателя на дробь , тогда

(8,11)

где , откуда а₀ = 1.

Вторая форма записи W(z) используется чаще.

По определению и с учетом (8.11) имеем:

откуда .

Перейдя от изображений к оригиналам, из этого выражения получим следующее разностное уравнение при а₀=1:

(8.12)

где m - порядок разностного уравнения.

Таким образом из системной функции (8.11) однозначно определяется разностное уравнение (8.12) и наоборот, по разностному уравнению (8.12) однозначно определяется системная функция (8.11).

Классификация цифровых систем и описывающих их разностных уравнений в зависимости коэффициентов а_i, b_i от времени или сигналов такая же, как у аналоговых систем (см. раздел 2.4).

17. Переход от аналоговых к цифровым системам управления с применением стандартного и билинейного z-преобразования.

Также, как от дифференциальных уравнений можно перейти к разностным уравнениям, от передаточных функций аналоговых систем W(p) можно перейти к системным функциям W(z). Этот переход можно сделать двумя способами:

• с помощью стандартного Z - преобразования,

• с помощью билинейного Z - преобразования.

При использовании стандартного Z - преобразования переход от W(p) к W(z) осуществляется заменой , т.е.

(8.13)

Обратный переход делается по правилу

. (8.14)

Указанные переходы следуют из прямого z = e^pT и обратного выражений, связывающих ДПЛ и Z - преобразования.

Переход от W(p) к W(z) с помощью стандартного Z - преобразования обеспечивает высокую точность, но в результате вместо дробно-рациональных функций получаются выражения с трансцендентыми функциями, что очень неудобно для выполнения различных математических операций над ними.

От указанного недостатка свободен переход от W(p) к W(z) и обратно с помощью билинейного Z - преобразования. Это преобразование приближенное, но при этом сохраняются дробно-рациональные функции в выражениях W(p) и W(z).

При билинейном Z - преобразовании используется разложение в степенной ряд функции

.

Ограничившись первым членом ряда, получим

. (8.15)

Обозначим , откуда .

Тогда (8.15) перепишем в виде

.

Т.к. z = e^pT , то ln z = pT. Приравняем правые части и получим приближенную линейную связь между p и z

(8.16)

Из (8.16) следует обратная связь между z и p

. (8.17)

Тогда переход от W(p) к W(z) с помощью билинейного Z- преобразования осуществляется по формуле

. (8.18)

Обратный переход от W(z) до W(p) осуществляется по формуле

. (8.19)

В результате переходов от W(p) к W(z) и обратно по (8.18) и (8.19) сохраняется дробно-рациональный вид функций, причем степень функций не изменяется.