22. Показатели вариации и методы их расчета.

Для целей аналитической и сравнительной характеристики различных рядов распределения принимается система обобщающих пок-лей вариационного ряда. Мода и медиана относятся к показателям центра распределения.

Группы показателей вариации: 1)Показатели центра распределения (ср вел-на и структурные средние). 2)Показатели степени вариации. 3)Показатели формы распределения. Показатели размера и интенсивности вариации: Размах вариации: , где x_max и x_min – максим и миним значение варьирующих признаков.

Среднее линейное отклонение (d) представляет собой среднюю величину из отклонений вариантов признака от их средней. Его можно рассчитать по формуле средней арифметической, как невзвешенной, так и взвешенной, в зависимости от отсутствия или наличия частот в ряду распределения: – невзвешенное среднее линейное отклонение; - взвешенное среднее линейное отклонение, где xi – i-й вариант осредняемого признака, fi – вес i-го варианта.

Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины: - невзвешенная; - взвешенная. Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии; величина именованная, имеет размерность осредняемого признака.

Для целей сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях вычисляются относительные показатели вариации. Чаще всего они выражаются в процентах и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если

коэффициент вариации не превышает 33 % (для распределений, близких к нормальному). Относительные показатели вариации:– коэффициент осцилляции: V =R: ⋅100%, – линейный коэффициент вариации: V =d : ⋅100%, – коэффициент вариации: V =σ: ⋅100%.

Показатели формы распределения. Степень асимметрии

может быть определена с помощью коэффициента асимметрии (Аs):

где – средняя арифметическая ряда распределения; Mo – мода;σ – среднее квадратическое отклонение.

Симметричным наз. распределение, в кот. частоты 2-ух любых вариантов, равностоящих в обе стороны от центра распределения равны м/у собой. При симметричном (нормальном) распределении = Мо. Если Аs > 0, то

имеется правосторонняя асимметрия. Если As < 0-левосторонняя асимметрия. Коэффициент асимметрии может изменяться от –3 до +3.

Для симметричных распределений может быть также рассчитан показатель эксцесса, характеризующий крутизну распределения:

где µ4– центральный момент четвертого порядка.При симметричном распределении Ex = 0; Ex > 0, распределение островершинное; если Ex < 0 – плосковершинное.

23. Дисперсия, ее свойства и методы расчета. Дисперсия альтернативного признака.

Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины. Дисперсия вычисляется по формулам простой взвешенной и невзвешенной: - невзвешенная; - взвешенная. Рассчитать дисперсию можно также по преобразованной формуле: , где –средний квадрат значений признака в совокупности: , -квадрат среднего значения признака в совокупности. При расчете дисперсии по этой формуле исключается дополнительная процедура по расчету отклонений индивидуальных значений признака от его средней величины, за счет этого уменьшается ошибка, связанная с округлением значений промежуточных вычислений. Св-ва дисперсии: 1. б²(а) = 0 – дисперсия постоянной величины равна нулю. 2. б²(а+х) = б²(х) – дисперсия не меняется, если все варианты увеличить/уменишить на одно и то же число. 3. б²(ах) = а² * б²(х) –если все варианты умножить на число а, дисперсия увеличится в а² раз. 4 Если исчислить средний квадрат отклонений от любой величины A, в той или иной степени отличающейся от средней арифметической (х), то он всегда будет больше среднего квадрата отклонений, исчисленного от средней арифметической: . Средний квадрат отклонений при этом будет больше на вполне определенную величину – на квадрат разности средней и этой условно взятой величины, т.е. на ( - A)²: , или

. Значит, дисперсия от средней всегда меньше дисперсий, исчисленных от любых других величин, т.е. она имеет свойство минимальности.

Дисперсия альтернативного признака (если в статистической совокупности признак изменяется так, что имеются только два взаимно исключающих друг друга варианта, то такая изменчивость называется альтернативной) может быть вычислена по формуле: . Подставляя в данную формулу дисперсии q =1- р, получаем: