41. Доверительный интервал. Доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсия нормального распределения.

Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью. Доверительный интервал - это допустимое отклонение наблюдаемых значений от истинных. Размер этого допущения определяется исследователем с учетом требований к точности информации. Если увеличивается допустимая ошибка, размер выборки уменьшается, даже если уровень доверительной вероятности останется равным 95%. Доверительный интервал показывает, в каком диапазоне расположатся результаты выборочных наблюдений (опросов). Если мы проведем 100 одинаковых опросов в одинаковых выборках из единой генеральной совокупности (например, 100 выборок по 1000 человек в каждой в городе с населением 5 миллионов человек), то при 95%-й доверительной вероятности, 95 из 100 результатов попадут в пределы доверительного интервала (например, от 28% до 32% при истинном значении 30%).

Например, истинное количество курящих жителей города составляет 30%. Если мы 100 раз подряд выберем по 1000 человек и в этих выборках зададим вопрос "курите ли Вы?", в 95 из этих 100 выборок при 2%-м доверительном интервале значение составит от 28% до 32%

Дисперсия – это мера измерения отклонения случайных величин от среднего. Вычисляется она по формуле как средняя сумма квадратов таких отклонений.

Корень из дисперсии определяет доверительный интервал для математического ожидания . Формула для функции нормального распределения. , а дисперсия нормального распределения.

42. Логика проверки статистических гипотез. Ошибки первого и второго рода, уровень значимости и мощность критерия.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о примерах известных распределений. Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и противоречащую ей гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место противоречащая ей гипотеза. По этой причине эти гипотезы целесообразно различать. Нулевой (основной) называют гипотезу Н₀. Альтернативной - называют гипотезу Н₁, которая противоречит Н₀. Различают гипотезы, которые содержат одно и более предположений. Простой называют гипотезу содержащую только одно предположение. Сложной, состоящую из бесконечного числа простых гипотез. Выдвигаемая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки. Поскольку проверку производят статистическим методом ее называют статистической. В итоге статистической проверки гипотезы в двух случаях может быть принято неправильное решение, т.е. могут быть допущены ошибки двух родов. Ошибка первого рода- состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Ошибка второго рода в том, что будет принята неправильная гипотеза. Вероятность совершить ошибку первого рода принято обозначать через а. Ее называют уровнем значимости. Уровень значимости часто принимают равным от 0,05 до 0,001. Если например, принят уровень значимости 0,05, то это означает что в пяти случаях из 100 есть риск допустить ошибку первого рода (отвергнуть правильную гипотезу). Мощность критерия (когда верна альтернативная гипотеза) определяется по формуле 1-а. Чем выше мощность тем больше вероятность совершить второго рода (принятие неправильной гипотезы).