38. Характеристики распределения случайной величины (математическое ожидание, дисперсия, медиана и мода). Примеры распределения случайных величин.

Математическое ожидание- это некоторые средние значения величины, около которых группируются все признаки значения X. Для дискретной величины, которая может принимать лишь конечное число возможных значений, математическое ожидание это сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений. M(X)= . Где n – количество слагаемых, i с какого числа складывать. Для непрерывной случайной величины имеющей заданную плотность распределения φ(x) математическим ожиданием называется следующий интеграл: Свойства математического ожидания: 1) М(С)=С , где С-константа, 2) М(С-Х)=С*М(Х), 3) М(Х Y)=M(X) M(Y), где X и Y любые случайные величины, 4) М(X*Y)=M(X)*M(Y), где X и Y независимые случайные величины. Размах вариации –это разница между наибольшим и меньшим значением величины признака . Например, настриг шерсти 4,3 кг и 5,3 кг равно 1 кг. Абсолютное отклонение( х- ) это начальное значение х минус средняя арифметическая → . Например, 4,3 кг – 4,8 кг (общая сумма деленная на количество вариантов)=-0,5 кг. Среднее линейное отклонение –это модуль суммы средних отклонений на число вариантов → кг. Дисперсия - математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания D(X)=M(X-M(X))² Дисперсия случайной величины это мера ее разброса от математического ожидания. Свойства: 1) дисперсия постоянного значения равна нулю, 2) постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат, 3) дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин 4)дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. Среднее квадратическое отклонение _{равно корню квадратному из дисперсии Коэффициент вариации равен процентное отношение среднего квадратического к отклонения к средней арифметической величине} Медиана это величина, которая соответствует варианту, находящемуся в середине ранжированного ряда . Ме  медиана;

х_Ме  нижняя граница медианного интервала;

h_Ме  величина медианного интервала;

 сумма частот;

s_Ме−1  сумма частот, накопленных в интервалах, предшествующих медианному;

f_Ме  частота медианного интервала. Медиальный интервал половина суммы частот (всего 25 овец/2=12,5), значения накопленных частот равные этому интервалу и будут медиальным интервалом Например, 4,4-4,8 (12<17). Накопленная частота- это сумма всех частот предшествующих вариантов. Медиана характеризует количественную границу значений изменяющегося признака, которыми обладает половина единиц совокупности. В дискретном вариационном ряду модой является признак с наибольшей частотой. Медианой является признак с номером, который находят путем деления суммы частот упорядоченного вариационного ряда на два и добавления 0,5. Мода  это величина, которая встречается в совокупности наиболее часто, то есть признак с наибольшей частотой. В дискретном вариационном ряду модой является признак с наибольшей частотой. Медианой является признак с номером, который находят путем деления суммы частот упорядоченного вариационного ряда на два и добавления 0,5.

В интервальном вариационном ряду моду находят по формуле:

,

где Мо  мода;

х_Мо  нижняя граница модального интервала;

h_Мо  величина модального интервала;

f_Мо  частота модального интервала;

f_Мо-1  частота интервала, предшествующего модальному;

f_Мо+1  частота интервала, следующего за модальным.

Модальным интервалом является интервал с наибольшей частотой.

Примеры распределения: нормальное распределение (случайный характер результатов обусловлен погрешностями изменений), равномерное распределение (случайная величина принимает значения в пределах конечного интервала от х₁ до х₂ с постоянной плотностью вероятностей).