24. Розкрийте методи розрахунків згортки послідовностей.

Згортка послідовностей – це лінійне перетворення, яке є результатом перемноження елементів двох заданих числових послідовностей таким чином, що члени однієї послідовності беруться із зростанням індексів, а члени другої – із убуванням.

Згортку двох заданих послідовностей можна отримати, якщо, спочатку, використати для кожної послідовності дискретне перетворення Фур’є (ДПФ), потім, перемножити результати перетворення та провести обернене дискретне перетворення Фур’є.

Розрізняють, лінійну згортку, кругову періодичну згортку, кругову аперіодичну (для конечних послідовностей) згортку за допомогою дискретного перетворення Фур’є.і

Розрахунок лінійної згортки. Для розрахунку лінійної згортки виконують такі дії:

- обчислюють кількість елементів вихідної послідовності за формулою:

, (4.48)

де N_out –кількість елементів у вихідній послідовності;

N₁ –кількість елементів у першій послідовності;

N₂ –кількість елементів у другій послідовності;

- доповнити нулями обидві послідовності так, щоб кількість елементів у цих послідовностях дорівнювала б N_out;

- симетрично відобразити одну з послідовностей відносно осі ординат;

- провести перемноження цих двох послідовностей.

Результатом виконання цих операцій матимемо лінійну згортку двох послідовностей.

Розрахунок періодичної кругової згортки. Для отримання періодичної кругової згортки необхідно уявити, що дві послідовності розташовано на двох колах. Одне коло знаходиться всередині другого. Значення кожного з цих послідовностей рівновіддалені один від одного. Для отримання кожного значення кругової згортки необхідно уявити, що одна з послідовностей рухається по колу відносно другої за годинниковою стрілкою. Наприклад, візьмемо перше значення послідовності, яка обертається, послідовно помножимо на значення другої послідовності та просумуємо результати множення. Та отримаємо перше значення вихідної послідовності, яке було отримане за допомогою кругової згортки. Дані дії слід повторювати для кожного значення послідовності, яка обертається відносно другої. Кількість елементів у вихідній послідовності буде дорівнювати кількості елементів, послідовності, яка обертається.

Отримана послідовність еквівалентна згортці двох періодичних сигналів.

Розрахунок аперіодичної кругової згортки. Для отримання аперіодичної кругової згортки (для конечних послідовностей) виконуються все ті ж операції, що й для отримання кругової згортки, але кількість елементів треба збільшити до N_out. Вхідні послідовності необхідно доповнити нулями до цієї кількості N_out. Тим самим усувається ефект накладення по колу, яке виникає за кругової згортки.

Виконання згортки за допомогою ДПФ. Для виконання згортки за допомогою дискретного перетворення Фур’є необхідно доповнити нулями обидві вхідні послідовності, так, щоб кількість елементів у цих послідовностях порівнювало N_out. Далі необхідно провести пряме ДПФ за формулою прямого перетворення Фур’є.

Далі виконується почергове помноження елементів першої послідовності з елементами другої послідовності. Після проводиться обернене перетворення за формулою оберненого перетворення Фур’є.

Всі способи розрахунку повинні давати однакові вихідні послідовності при однакових вхідних послідовностях.