21. Поясніть формули обчислення середньої потужності, функції щільності потужності, енергетичного спектру та одностороннього енергетичного спектру.

Спектральне описування інформаційного повідомлення має таке обґрунтування. Для кожної реалізації сигналу, що представляє собою реалізацію x₁(t₁) випадкового процесу обчислюється спектральна функція за допомогою перетворення Фур’є:

. (4.37)

За теоремою Парсеваля обчислюється середня (за час реалізації T_р) потужність :

, (4.38)

де функція

(4.39)

являється функцією щільності потужності за частотою. Усереднення цієї функції за всіма реалізаціями повідомлення дає спектральну характеристику процесу, яку називають енергетичним спектром:

. (4.40)

Знання енергетичного спектру сигналу дозволяє обчислити середню (за реалізаціями) потужність, що міститься у заданому діапазоні частот від ω₁ до ω₂):

, (4.4)

де подвоєння інтегралу необхідно внаслідок формального визначення перетворення Фур’є у області позитивних та негативних частот. Спектр

(4.42)

що називають одностороннім енергетичним спектром.

22. Дайте визначення автокореляційної функції та поясніть зв’язок між енергетичним спектром та авто кореляційною функцією.

Для ергодичного процесу авто кореляційна функція може бути знайдена по одній, теоретично нескінченній реалізації:

. (4.43)

Функція r_X(τ) характеризує у середньому частоту коливань у реалізації повідомлення. Важливі властивості авто кореляційної функції: ; (квадрат дисперсії процесу Х); (парність функції).

У інженерній практиці інтеграл замінюється сумою, а максимальне значення аргументу τ, τ_мах береться порядку 0,1T_р.

Часто достатньою характеристикою автокореляційної функції являється її ширина τ₀, що називається інтервалом кореляції. При τ > τ₀ r_x(τ) ≈ 0. Це означає відсутність лінійного зв’язку між X(t) та X(t + τ). Величина τ₀ визначається як половина ширини основи прямокутника, висота якого дорівнює r_x(0) :

(4.44)

Між енергетичним спектром та авто кореляційною функцією процесу існує однозначний зв’язок, що описується парою перетворень Фур’є:

,

. (4.45)

Ширина енергетичного спектру Δω визначають як:

. (4.46)

Енергетичний спектр являється парною функцією свого аргументу. При використанні одностороннього енергетичного спектра поняття негативних частот зникає.

23. Поясніть призначення, визначення та властивості згортки сигналів.

Згортка функцій. У процесі дослідження технічних каналів витоку інформації важливе значення мають кореляційні методи, зокрема згортка сигналів.

Згортка функцій – це операція функціонального аналізу, яка показує «схожість» однієї функції з відображеною та зсунутою копією другої. У математиці, згортка – це математична операція двох інтегруємих функцій f та g, яка породжує третю функцію, що називають також функцією кореляції.

Згорткою функцій називається функція , яка визначена формулою

. (4.47)

Наприклад, згортка двох прямокутних імпульсів дає в результаті трикутний імпульс.

Властивості згортки.

Комутативність: .

Асоціативність: .

Лінійність (дистрибутивність та помноження на число):

Правило диференціювання: де символ Df позначає похідну функції f за будь-якою змінною.

Властивість Фур’є-образу: , де перетворення Фур’є функції f.

З останньої властивості випливає правило обчислення згортки: обчислюються прямі перетворення Фур’є функцій, результати перемножуються, а далі обчислюється зворотне перетворення Фур’є, що дає потрібний результат.

У цифровій обробці сигналів застосовують частковий випадок згортки функцій – згортку послідовностей.