5.Що називають рядом Фур’є? Наведіть його формулу. Запишіть формулу Фур’є у базисі синусів та косинусів і у базисі експоненти уявного аргументу.

Ряди Фур’є. Неперервні перетворення є узагальненням рядів Фур’є, які були винайдені раніше. Ряди Фур’є розроблені для періодичних функцій і представляють собою розкладення таких функцій у нескінченну лінійну комбінацію гармонічних коливань з цілими частотами:

. (4.6)

Розкладання у ряд Фур’є може бути застосовано також до функцій, заданих на обмежених проміжках, оскільки такі функції можуть бути періодично продовжені на всю пряму. Квантові ефекти, що виникають на практиці із-за обмеження на кількість членів ряду. Аналог невизначеності Гейзенберга.

Рядом Фур’є називають представлення довільної функції f з довільним періодом τ у вигляді ряду

, (4.7)

де A_k – амплітуда k-го гармонічного коливання; – кругова частота гармонічного коливання; θ_k – початкова фаза k-го гармонічного коливання.

Часто при роботі з рядами Фур’є буває зручно у якості базису використовувати замість синусів та косинусів експоненти уявного аргументу. Системи функцій

, (4.8)

які являються попарно ортогональними та утворюють повну систему, і, таким чином, будь-яка функція може бути розкладена за ними у ряд Фур’є:

. (4.9)

де f_k – k-а комплексна амплітуда.

6.Дайте визначення тригонометричного ряду Фур’є.

Тригонометричний ряд Фур’є містить дійсні функції та має такий вигляд:

, (4.10)

де ,

,

.

Числа a₀, a_n, b_n (n = 1, 2…) називають коефіцієнтами Фур’є функції.

7.Проведіть аналіз розкладання у ряд Фур’є для прямокутної часової функції.

Розглянемо приклад. Знайти розкладання в ряд Фур’є прямокутної функції з періодом 2π, визначеної в інтервалі [–π, π] (рис. 3.1):

(4.11)

Рисунок 4.1 – Прямокутна функція

Розкладання у ряд Фур’є для прямокутної функції має вигляд

, (4.12)

Можна обчислити декілька перших членів розкладання. Наприклад, вважаючи, що n = 5, отримуємо

. (4.13)

У даному випадку ряд Фур’є складають непарні гармоніки розкладання.

Швидкість сходження погрішності цифрового аналізу залежить від кількості членів розкладення ряду Фур’є.

8.Сформулюйте теорему відліків. Запишіть формулу та поясніть фізичний смисл ряду Котельникова.

Неперервний сигнал s(t) з обмеженим спектром можна точно відновити (тобто інтерполювати) за його відліками s(kΔt), взятими через інтервали , де F – верхня частота спектра сигналу. У відповідності до цієї теореми сигнал s(t) можна представити рядом Котельникова.

. (4.14)

Т аким чином, сигнал s(t) можна абсолютно точно представити за допомогою послідовності відліків , заданих у дискретних точках (рис. 4.2).

9.Наведіть формулу та графік функції відліків. Які властивості має функція відліків?

Функції називаються функціями відліків (рис. 4.3). Вони утворюють ортогональний базис у просторі сигналів, що характеризуються обмеженим спектром.

Рисунок 4.3 – Функція відліків

Функція відліків характеризується наступними властивостями:

- якщо k = 0, функція відліків має максимальне значення при t = 0, а в моменти , (i = 1, 2, …) вона обертається в нуль;

- ширина головного пелюстка функції відліків на нульовому рівні дорівнює тому мінімальна тривалість імпульсу, який може існувати на виході лінійної системи із смугою пропускання F, дорівнює ;

- функції відліків ортогональні на нескінченному інтервалі часу.