Диференціальні рівняння

Диференціальні рівняння (ДР) 1-го порядку. Класифікація ДР, їх алгоритми розв’язку.

ДР 1-го порядку, вирішеним відносно , називається рівняння вигляду , тут - невідома функція розв’язку даного ДР. Розрізняють загальний розв’язок даного ДР, який задається у вигляді , . Якщо константа приймає одне із своїх можливих числових значень, тоді загальний розв’язок перетвориться в один із багатьох частинних розв’язків вигляду .

Задачею Коші для ДР 1-го порядку називають саме ДР, до якого додається одна початкова умова вигляду .

Теорема Коші (в спрощеній формі). При деяких обмеженнях на функцію та її частинні похідні 1-го порядку, розв’язок задачі Коші завжди існує і він буде єдиним.

Геометрично теорема Коші інтерпретується існуванням деякої єдиної інтегральної кривої як розв’язку початкового ДР, яка обов’язково пройде через точку з координатами .

Розрізняють такі основні типи ДР 1-го порядку, які підлягають інтегруванню:

1) ДР з відокремлюваними змінними. Це таке ДР, для якого завжди , тоді, оскільки , . В останньому рівнянні виконаємо процедуру відокремлення змінних: при необхідно записати функцію, залежну від змінної , а при -функцію, залежну від : Тоді , або - загальний інтеграл початкового ДР, при цьому . Зауваження: якщо функції-первісні чи записані натуральними логарифмами, зручно замість записувати , і подальшим потенціюванням відповідь спрощується.

2) Однорідні ДР, їх характерною рисою є така умова: , тоді , або отже, - загальний інтеграл розв’язку.

3) Лінійні неоднорідні ДР (ЛНДР) та рівняння Бернулі:

та , . Якщо то рівняння Бернулі перетвориться в ЛНДР, якщо , то рівняння Бернулі стане ДР з відокремленими змінними. Дані рівняння рішаються аналогічно, наведемо алгоритм їх розв’язку на прикладі ЛНДР. Невідомий розв’язок будемо шукати у вигляді добутку двох невідомих функцій, тобто . Тоді , або . Підберемо функцію так, щоб , тоді (для береться частинний розв’язок, тобто константа відсутня). Для іншої функції маємо рівняння, що залишилось: . .

Приклади:

1.Знайти функціональну залежність для опису розпаду деякого

радіоактивного матеріалу в залежності від часу , якщо відомо, що

швидкість розпаду пропорційна масі матеріалу в даний момент часу, а

початкова маса матеріалу - .

Нехай - маса радіоактивного матеріалу в момент часу . Тоді

швидкість розпаду цього матеріалу визначається першою похідною

функції . Тоді в силу умови - коефіцієнт пропорційності,

що характеризує властивості конкретного матеріалу. Знак «-» вказує, що

маса матеріалу з бігом часу зменшується . Тоді

- загальний розв’язок складеного рівняння з

відокремлюваними змінними. Знайдемо : , звідки .

Якщо , тоді - величина часу,що

визначає період піврозпаду даного радіоактивного матеріалу.

2.На тіло маси , що рухається вертикально вниз, діє сила ваги цього тіла. Також на тіло діє сила опору повітря, пропорційна швидкості тіла в даний момент часу, з коефіцієнтом пропорційності . Знайти залежність швидкості тіла від часу.

Згідно 2-го закону Ньютона , або або - це ЛНДР. Нехай _, , , тоді для іншої функції маємо таке рівняння: .

Тоді то і остаточно

3. Знайти рівняння кривої, для якої відрізок, що відтинається дотичною на осі абсцис, дорівнює квадрату ординати точки дотику. В силу умови задачі з використанням геометричного змісту похідної стосовно невідомої функції маємо диференціальне рівняння вигляду: . Це рівняння у даному вигляді жодному з випадків інтегрування не підлягає. Але оскільки , то рівняння може бути переписане у вигляді де , або з невідомою функцією , для якої , тобто останнє рівняння розв’язуємо як ЛНДР з невідомою функцією . Маємо , , , - загальний розв’язок сімейства кривих (очевидно, це сімейство парабол), що задовольняють умові задачі.

Лінійні неоднорідні ДР 2-го порядку з постійними коефіцієнтами.

Даний тип диференціальних рівнянь визначається у вигляді , тут , якщо , то рівняння перетворюється у відповідне однорідне. Задачею Коші для даного рівняння називається саме ДР і дві початкові умови вигляду . Має місце аналогічна теорема Коші про існування та єдність розв’язку задачі Коші. Нехай - загальний розв’язок однорідного ДР, - загальний розв’язок неоднорідного ДР, для якого справедлива теорема: , де - довільний частинний розв’язок неоднорідного ДР. Для знаходження по однорідному ДР складемо відповідне характеристичне рівняння виду: - його дискримінант. Можливі випадки:

а) - дійсні та різні корені характеристичного рівняння, тоді

.

б) - дійсні однакові корені характеристичного рівняння , тоді .

в) корені характеристичного рівняння є комплексними (комплесноспряженими) числами. і нехай - дійсна частина коренів характеристичного рівняння - уявна частина коренів характеристичного рівняння, тоді . можливо знайти, якщо - спеціальна права частина (квазімногочлен) 1-го типу: - многочлен степені . Підберемо у вигляді: - загальний вигляд многочлена степені з неозначеними коефіцієнтами, - кількість співпадань числа з коренями характеристичного рівняння. Квазімногочлен 2-го роду, це вираз вигляду: , тоді , - різні многочлени степенів з неозначеними коефіцієнтами, - приймає значення 0 або 1, і дорівнює 1 тільки тоді, коли комплексне число співпаде з одним із комплексних коренів характеристичного рівняння.

Приклади:

1) , с , . Значення та його похідних підставимо в початкове неоднорідне ДР:

. Отже . Нехай . . Тоді або

- розв’язок задачі Коші.

2)Розв’язати:

отже підставимо ці результати в початкове рівняння .

Таким чином .

Зауваження. Якщо в неоднорідності 2-го роду , тоді відповідне ДР відповідає випадку резонансу, тобто необмеженому збільшенню амплітуди коливань деякої механічної системи зі збільшенням аргументу.

Із вигляду отриманого розв’язку, якщо , видно, що визначальним у ньому є другий доданок, і відповідною змінною амплітудою синусоїди буде значення , якщо , що дійсно відповідає визначенню резонансу.

Ряди

Числові ряди

Якщо задана деяка числова послідовність то нескінченним числовим рядом називається сума членів цієї числової послідовності, тобто Головним питанням для таких рядів є питання їх збіжності. Числовий ряд називається збіжним, якщо існує і є сталою нескінчена сума членів цього ряду, і, відповідно, розбіжним, якщо значення такої суми не існує.

Теорема 1. (необхідна умова збіжності). Для збіжності числового ряду необхідно, щоб . Якщо ця умова не виконується,то числовий ряд завідомо розбіжний.

Приклад. Встановити збіжність тут отже ряд розбіжний.

Теорема 2. Задано два числових ряди для яких , , тобто ці ряди еквівалентні на нескінченності. Тоді такі два ряди збіжні або розбіжні одночасно.

Теорема 3. Задано числовий ряд Такий ряд збіжний, якщо і розбіжний, якщо .

Приклад. Дослідити збіжність ряду Такий ряд буде еквівалентним ряду , для якого , і в силу теорем 2 і 3 обидва ряди будуть збіжними.

Розглянемо достатні ознаки збіжності числових рядів.

Теорема 4. (Ознака Даламбера)

Задано числовий ряд для якого . Тоді нехай . Якщо - ряд збіжний, якщо - ряд збіжний, якщо - дана ознака не дає відповіді на питання про збіжність.

Приклад: встановити збіжність ряду тут , , отже ряд збіжний.

Теорема 5. (Радикальна ознака Коші).

Якщо для числового ряду то при ряд розбіжний, при - ряд збіжний, якщо - дана ознака не працює.

Приклад.

Встановити збіжність .

Для ряду із за теоремою 5 маємо: , отже ряд із - збіжний, тоді в силу теореми 2 початковий ряд теж збіжний.

Теорема 6. (інтегральна ознака Коші).

Задано ряд . За функцією запишемо відповідний невластивий інтеграл вигляду Тоді початковий числовий ряд та інтеграл збіжні або розбіжні одночасно.

Приклад: Встановити збіжність ряду (тут ). Маємо Тоді , отже невластивий інтеграл збіжний, і в силу теореми 6 початковий ряд теж збіжний.