8) Теорема об условиях равновесия атт. Ур-я равновесия для пространственной сис-мы сил

Теорема равновесия АТТ

Для того чтобы произвольная система сил была уравнов-ой необходимо и достаточно чтобы ее главный вектор и гл момент относ-но произв-ого полюса В=0 (*) =0, .=0

1)Необходимость. Имеем: {,…,}экв0 По теореме о приведении к 2 силам {,…,}экв{.По аксиоме о 2 силах {,}экв0=-и//Первое рав-во означ что+=0 а силыиобразуют пару поскольку она экв нулю.M(,)=0

2)Достаточность. Исходим из равенства (*).По теореме о приведении к силе и паре: {,…,}экв{.где {,} –пара сил,т.е,но=0,итак {,…,}экв{,},для этой пары сил(,)==0,поэтому {,}экв0,т.е {,…,}экв0.

≤простой системы сил. Пусть xyz-произвольная декартовая система координат. Следствие:уравнения равновесия произв системы сил в скалярной форме:

X:y:z::=0:=0:=0

Для системы из n тел получаем 6 n уравнений равновесия.

9)Ур-е равновесия для плоской и сходящейся сис-мы сил, для сис-мы параллельных сил. Статистически определяемые задачи.

Уравнения равновесия АТТ

1)Пусть система сил-плоская и полюс В вместе с осями x и y лежит в той же плоскости что и сила. Тогда можно пользоваться ур-ми: X:y::=0 В самом делеɏ К перпи//,т.ч остальные 3 ур-ия обратились в тождества.

2) Пусть система сил-параллельная, тогда ɏ К //,тогда можно пользоваться ур-ми:z:

:=0:=0 В самом делеɏ К //иперп

3) ) Пусть система сил-сходящаяся и линии действия всех сил проходят через В. Тогда можно пользоваться ур-ми: X:y:z:Дляɏ К =0

Задача статистически определима если число неизвестных не превосходит числа ур-ий равновесия. Если в задаче nтел и m неизвестных то в статист опр задачах:m≤3n-плоский случай;m≤6n-простр-ый случай.

11)Законы трения скольжения(при покое). Закон Амантона-Кулона. Задача о трибометре.

Законы трения скольжения:

1)Если тело на которое действует сила трения скольжения находится в покое то модуль ее может принимать любое значение. Случай предельного равновесия-модуль силы тр=макс силе тр

2)Предельная величина силы трения прямопропорциональна модулю нормальной реакции

3)Значение не зависит от площади соприкосновения

4) Значение зависит материала тел, частоты обработки пов-ей и т.п

Задача о трибометре.

X:Q-=0Q= y:N-P=0 N=P Подбором груза находим наибольшее значение Q при котором брусок будет покоится. В силу закона Амонтона-Кулона:макс =N так что =:макс /N= Qмакс/Р

26. Антисимметричные линейные операторы. Теорема о взаимно однозначном соответствии между векторами и антисимметричными операторами в трехмерном пространстве.

Пусть х-евклидово векторное пр-во. Линейный оператор– антисимметричный, если (

В общем случае =(. Иная форма определения:

Для компонентов антисимметричного оператора в ортонорм. Базисе≡=-

Значит, матрица А оператора тоже антисимметрична

В частности, при i=j:

Пусть Z(x) –пр-во всех линейных операторов вида

Присоединенным представлением алгебры векторов 3-х мерного пр-ва V называется отображение : аd: V->Z(V), которое всякому вектору ā сопоставляет лин. Оператор , определяемый формулой

Линейность оператора следует из равенств

[=

=k[

Оператор ≡ad будем обозначать ă и называть присоединительным оператором для вектора

Теорема: отображение ad: :V->Z(V) устанавливает взаимно-однозначное соответствие между векторами из V и антисимметричными линейными операторами:

Док-во: в силу линейный оператор, отвечающий вектору, определен однозначно. Проверим, что он антисимметричный.

Пусть {правый ортонорм. базис вV, тогда ==>=>, так что,

так как , то и

Взаимная однозначность всякий оператор в 3-х мерном пр-ве имеет матр. А указанного вида; поэтому векторнаходится однозначно.

Замечание: в силу взаимной однозначности установленного соответствия для всякого антисимметричного оператора однозначно определен вектор=a, для которого ă=

Следствие 1: ă

Следствие 2: ă=0 II , т.к. II

Следствие 3: т.к. оператор ă все векторы, параллельные переводит в 0, то антисем. Операторы в 3-х мерном пр-венеобратимы(обратного оператора не сущ.)

Вывод: в 3-х мерном пр-ве операции умножения вектора на антисим. оператор эквивалентно операции векторного умножения.

32. Вращательное движение абсолютно твердого тела. Ось вращения. Траектории и скорости телесных точек при вращательном движении.Движение АТТ вращательное, если 2 телесные точки неподвижны. Пусть это точки О* и А*; обозначим через е* телесную прямую А*О*, а через ɭ текущее положение этой прямой в у. н. СО

Вращательное движение – частный случай сферического. Ось мгновенного вращения в любой момент проходит и через точку О и через А => она совпадает и прямой ɭ (осью вращения АТТ)

Вектор ll l ɭ

У любой точки оси вращения скорость тождественно равна 0, так что все точки оси вращения неподвижны.

Траектории любой телесной точки β* лежит на пересечении 2-х сфер с радиусами lOBl и lABl, т.е. на окружности с центром на оси вращения.

Траектории лежат в неподвижных плоскостях, ортогональных оси ɭ, ток что вращательное движение – частный случай плоского. Если ввести неподвижную систему координат Охуz, совместив ось z с осью ɭ, то плоскость Oxy можно

принять за плоскость движения.

Вывод: вращательное движение одновременно и сферическое и плоское.

27.Закон движения абсолютно твердого тела. Дифференцирование линейных операторов. Оператор угловой скорости; формула Эйлера в операторной записи.

Закон движения материального тела –правило, задающее для каждой точки тела и каждого момента времени текущее положение точки.

Прямой способ задания движения тела:

В=Н(В*;t);

конфигурация тела β зависит от t как от параметра, а В*β-произвольная точка тела

Если тело β-абс. твердое, то В*Е*(т.е. это произвольная точка тела)

Векторный способ: задают 2 ф-ции времени =;=(t)(операторная);

Здесь А- текущее положение полюса А**, а-оператор ориентации АТТ.

Тогда по основной ф-ие геометрии движения =*, где*=, можно найти закон движения произвольной телесной точки В*

Если лин. оператор : х->у зависит от времениt, как от параметра: , то его производной поt наз-ся предел =

Пусть сущ. t оператор =мультипликативной производной ( умножения) поt наз-ся лин. оператор: , т.к.:-y->x, то :y->y, т.е.

Оператор угловой скорости характеризует быстрому изменению ориентации АТТ формула =принимает вид=, т.к.-, получаем

(*)Это формула Эйлера( в операторной записи)

Вывод: мгновенное движение АТТ задано, если известны вектори оператор.

28.Теорема об антсимметричности оператора угловой скорости. Вектор угловой скорости; формула Эйлера в векторной записи. Траектории и скорости телесных точек при сфкрическом движении.

Теорема: оператор угловой скорости антисимметричный: =-

Док-во: в силу ортогональности =, дифференцируем поt +=0

Вычисляем ===,

Вектор , сопоставляемый антисимметричному операторупо формуле=[] называется вектором угловой скорости АТТ.

Если - един-ные векторы системы коорд.xyz, то =++, а матрица=

Вектор изменения ориентации АТТ

Это свободный вектор, т.к. его компоненты выражаются только через направление cos и их производных, а от выбора полюса не зависит

, это формула Эйлера в векторной записи, была получена в 1765 году.

Движение АТТ сферическое, если одна из телесных точек неподвижна, поскольку текущее положение О этой точки О* не изменяется с течением времени, то О можно принимать за

начало неподвижной системы координат.

Выберем точку О* за полюс, тогда =*, где*=

Вывод: соотношения =(t) определяет закон сферического движения тела

Из услвия IОВI=const следует, что траектории телесных точек при сферическом движении лежат на концентрических сферах

При сферическом движении принимает вид (*)

.

При сферическом движении АТТ:

-мгновенное движение в любой момент времени-мгновенное вращение, ось которого всегда проходит через точку О;

-распределение скоростей телесных точек задается формулой (*).

29.Плоское движение АТТ. Матрица направляющих косинусов при таком движении. Вывод соотношений для координат двух телесных точек при плоском движении.

Движение АТТ – плоское (или плоскопараллельное), если все телесные точки движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости (плоскость движется).

Траектории телесных точек при этом- плоские кривые.

Примем за плоскость движение Oxy ту из параллельных плоскостей, в которой движется полюс А*

Точки тела, движущегося в этой же плоскости, образуют плоскую фигуру.

Вывод: Изучение плоского движения АТТ сводится к изучению движения плоской фигуры.

Здесь Аx’, Ay’,Az’-текущее положение осей А*х*, А*у*, А*z* (ось Az’ сонаправлена оси Оz)

Угол ϕ-угол поворота тела, отсчитывается от направляющей оси Ох до оси Ax’ в положительную сторону.

Перейдем у метрической записи основной формулы геометрии движения:=*, где*=.

Для чего введем столбцы: =,=,=

Получаем (*)=+

Сейчас =0

Напр. косинусов =cos(=cos ϕ

=cos(=-sinϕ

=cos(=sinϕ

=cos(=cosϕ

=cos(=cos 0=1

Остальные cos=0(векторы ортогональны)

Г=Вывод: соотношенияопределяют закон плоского движения тела, при этом координаты т. В в силу (*) можно найти по формулам

(**)

Для точек плоской фигуры

30. Вывод формул для компонент оператора и вектора угловой скорости при плоском движении. Получение соотношений для проекций скоростей двух телесных точек.

Для оператора угловой скорости АТТ имеем=

В матричной форме

(*)==

Матрица Г при плоском движении Г=

Вычисляем =cos

.

Поэтому =

У матрицы 3-я строка нулевая, поэтому в силу (*)=0.

Т.к. на 1-й столбец(т.е. на первую строку Г):

(ϕ ̇cos ϕ)ϕ-sin⁡ϕ(-sin⁡ϕ )

=0,

Ед. для

Вывод: угловая скорость АТТ в плоском движении – вектор , где

Для оператора угловой скорости: =, а в матричной записи=

Пусть теперь скоростьj-ого тела, а телесные точки А* и В* движутся в плоскости движения Оxy. Пусть – угол, образуемый направленным отрезкомс положительным

направлением оси Ох.

Т.к. ≡0,≡0, то=0 и=0

Переход от А к В представим графом (1) А

Подставим теперь в ф-лу Эйлера

В матричной записи (2) =+

Здесь =,=,,=

Переходя к компонентной записи из (2) получаем

,

Эти формулы соответствуют графу (1).

Аналитический метод решения задач кинематики

Пример составного графа:

А

Распишем данный граф:

(1)

Соотношения (1) верны при следующем основном дополнении – скорости тех точек j-ого и k-ого тел, текущим положение которых служит т. В

Порядок решения типичных задач:

1. Выбрать кинематический граф, с которым связано не более 2-х неизвестных кинематических величин.

2. Составить кинематические соотношения для выбранного графа.

3. Учесть связи в концевых точках графа.

4. Решить полученные кинематические ур-я.

5. Если не все неизвестные найдены, вернуться к 1.

31. Решение задачи о разложении вектора на параллельную и ортогональную составляющие. Вычисление вектора угловой скорости по вектору относительной скорости при плоском движении.

Лемма: формула (*) =(,)+[,[]] дает разложение векторана 2 составляющие:

параллельную и ортогональную заданному ед. вектору

Док-во: проекция вектора на направлении вектора(,) так, что=(,)

Применяем формулу «БАЦ» минус «ЦАП» для двойного векторного произведения

[,[]]=,-,, получаем [,[]]=,-,==

Найдем угловую скорость тела , если известны вектор≡-

Запишем ф-лу Эйлера в виде (**) =[]

Разложим вектор на 2 составляющие: параллельную и ортогональную вектору=

=[]] в силу (**):.

Замечание: поскольку =(-+(-,=(-+(-,

то --(-(-]