- •Формулы логики высказываний и их равносильность. Правило равносильных преобразований.
- •5). А а а идемпотентность
- •6). А (в с) (а в) с ассоциативность
- •8) А (в с) (а в) (а с) дистрибутивность относительно
- •2. Тождества логики высказываний, правильные рассуждения.
- •3. Двойственность. Закон двойственности.
- •4. Разрешимость для логики высказываний. Контактные схемы.
- •5. Нормальные формы формул. Теорема о единственности сднф и скнф.
- •6. Полные системы булевых функций. Суперпозиции. Теорема о полноте системы функций, выраженных с помощью суперпозиций через функции другой полной системы.
- •7. Функционально замкнутые классы булевых функций. Замкнутые классы t0 , t1.
- •8. Теорема Поста, её необходимость. Таблица Поста.
- •9. Независимая система функций и базис функционально замкнутого класса.
- •10. Минимизация днф. Метод минимизирующих карт.
- •Аксиоматические теории. Определения и свойства исчисления высказываний.
- •Теорема дедукции и два её следствия. Правило modus ponens.
- •Полнота и непротиворечивость исчисления высказываний. Независимость аксиом.
- •14. Предикаты, кванторы, их область действия. Свободные и связанные переменные.
- •Равносильность формул логики предикатов. Правила перехода к равносильным формулам в логике предикатов, совпадающие с аналогичными правилами в логике высказываний.
- •Теорема о существовании приведённой формы для каждой формулы логики предикатов.
- •17. Теорема о существовании нормальной формы для каждой приведённой формулы логики предикатов.
- •Выполнимость и общезначимость формул логики предикатов. Теорема Черча.
- •Исчисление предикатов: аксиомы и правила вывода. Ослабленная теорема о дедукции.
- •20. Общезначимость выводимых в исчислении предикатов формул.
- •Рекурсивные функции. Тезис Черча. Способы реализации рекурсии.
- •Формулы логики предикатов. Атомарные формулы. Интерпретации.
- •Машины Тьюринга. Тезис Тьюринга.
- •Правило перехода к равносильным формулам в логике предикатов: перенос квантора через отрицание.
- •Правило перехода к равносильным формулам в логике предикатов: вынос квантора за скобки.
- •Многочлен Жигалкина. Количество многочленов Жигалкина для n переменных. Единственность многочлена Жигалкина для каждой булевой функции.
- •Правила перехода к равносильным формулам в логике предикатов: перестановка одноименных кванторов и переименование связанных переменных.
- •28. Функционально замкнутый класс s и принцип двойственности.
- •29.Функционально замкнутые классы l и m и доказательство их замкнутости.
- •30. Косвенные методы доказательства и равносильности, на которых они основаны.
- •31. Схемы правильных и неправильных рассуждений.
- •32. Количество булевых функций от n переменных. Булевы функции от двух переменных. Полные системы, состоящие из одной функции.
Правило перехода к равносильным формулам в логике предикатов: перенос квантора через отрицание.
Укажем несколько правил перехода от одних формул к другим, им равносильным (во всех интерпретациях). Для формул ЛП сохраняются все равносильности и правила равносильных преобразований логики высказываний. Кроме того, существуют следующие правила:
1. Перенос квантора через отрицание. Пусть A – формула ЛП, содержащая свободную переменную x. Тогда справедливы равносильности
( x) A(x) ( x) A(x);
( x) A(x) ( x) A(x).
Поскольку кванторов всего два, то можно считать их противоположными друг другу. Тогда это правило можно формулировать и так: при переносе квантора через отрицание он меняется на противоположный. Сначала докажем первую равносильность.
Пусть x1, … , xn множество (быть может, пустое) всех свободных переменных формулы A, отличных от x. Это же множество является списком всех свободных переменных рассматриваемой равносильности. Докажем, что на любом наборе <a1, … , an> левая и правая части равносильности принимают одинаковое значение.
Пусть переменная x = a. Возможны два случая:
для любого элемента a формула A(a, a1, … , an) = 1;
для некоторого элемента a0 формула A(a0, a1, … , an) = 0.
В первом случае для любого элемента a формула A(a, a1, … , an) =0. Отсюда по определению ( x) A(x) = 0. С другой стороны, в этом случае ( x) A(x) = 1 и ( x) A(x) = 0.
Во втором случае для элемента a0 формула A(a0, a1, … , an) =1. Отсюда ( x) A(x) = 1. С другой стороны в этом случае ( x) A(x) = 0 и ( x) A(x) = 1.
Докажем теперь вторую равносильность. Применим доказанную первую равносильность в формуле A(x). Тогда ( x) A(x) ( x) A(x) ( x) A(x), и применив равносильность 11 основных равносильностей логики высказываний, получим ( x) A(x) ( x) A(x) ( x) A(x).
Правило перехода к равносильным формулам в логике предикатов: вынос квантора за скобки.
Укажем несколько правил перехода от одних формул к другим, им равносильным (во всех интерпретациях). Для формул ЛП сохраняются все равносильности и правила равносильных преобразований логики высказываний. Кроме того, существуют следующие правила:
1. Перенос квантора через отрицание. Пусть A – формула ЛП, содержащая свободную переменную x. Тогда справедливы равносильности
( x) A(x) ( x) A(x);
( x) A(x) ( x) A(x).
Поскольку кванторов всего два, то можно считать их противоположными друг другу. Тогда это правило можно формулировать и так: при переносе квантора через отрицание он меняется на противоположный. Сначала докажем первую равносильность.
Пусть x1, … , xn множество (быть может, пустое) всех свободных переменных формулы A, отличных от x. Это же множество является списком всех свободных переменных рассматриваемой равносильности. Докажем, что на любом наборе <a1, … , an> левая и правая части равносильности принимают одинаковое значение.
Пусть переменная x = a. Возможны два случая:
для любого элемента a формула A(a, a1, … , an) = 1;
для некоторого элемента a0 формула A(a0, a1, … , an) = 0.
В первом случае для любого элемента a формула A(a, a1, … , an) =0. Отсюда по определению ( x) A(x) = 0. С другой стороны, в этом случае ( x) A(x) = 1 и ( x) A(x) = 0.
Во втором случае для элемента a0 формула A(a0, a1, … , an) =1. Отсюда ( x) A(x) = 1. С другой стороны в этом случае ( x) A(x) = 0 и ( x) A(x) = 1.
Докажем теперь вторую равносильность. Применим доказанную первую равносильность в формуле A(x). Тогда ( x) A(x) ( x) A(x) ( x) A(x), и применив равносильность 11 основных равносильностей логики высказываний, получим ( x) A(x) ( x) A(x) ( x) A(x).