20. Общезначимость выводимых в исчислении предикатов формул.
Теорема: аксиомы ИП – общезначимые формулы. Пусть A – тавтология логики высказываний и x1, … , xn – список её переменных. Подставив вместо каждой переменной формулы ИП (и логики предикатов) B1, … , Bn (так, чтобы не нарушались определения формулы), получим общезначимую формулу ИП (и логики предикатов). Из этого следует, что все схемы аксиом ИВ, применяемые в ИП, являются общезначимыми формулами.
Теорема: формула, получающаяся из общезначимой по любому из правил вывода 1 – 4, является общезначимой. Для правила вывода 1 это следует из свойств импликации.
Теорема: любая выводимая в исчислении предикатов формула общезначима. Это следует из двух предыдущих теорем.
Теорема: ИП непротиворечиво. Это следует из того, что невозможно одновременно A и A.
Теорема Геделя (о полноте ИП). Всякая общезначимая формула выводима в ИП. Без доказательства.
Рекурсивные функции. Тезис Черча. Способы реализации рекурсии.
Рекурсия является одним из мощнейших средств современных языков программирования. Схема рекурсии:
,
где f – функция от (n + 1)-ой переменной, g - функция от n переменных, h - функция от (n + 2)-х переменных. При n = 0 схема рекурсии имеет вид:
.
Схема рекурсии полностью определяет функцию f. Рекурсия похожа не метод доказательства теорем по индукции, причём индукция проводится по переменной y. Сначала задаётся первый шаг индукции (f(0)), а затем из шага номер y (f(y)) вычисляется шаг номер (y+1) (f(y+1)).
Тезис Чёрча: всякая вычислимая функция является рекурсивной. Без доказательства. Другими словами, всякая аналитическая функция может быть задана и рекурсивно.
Регрессия – это один из способов обработки данных, заданных двумя векторами одинаковой длины (вектор x и вектор y).
Формулы логики предикатов. Атомарные формулы. Интерпретации.
Слово в алфавите логики предикатов называется формулой, если оно символ предиката. Такая формула называется атомарной. Все переменные атомарных формул свободные, связанных переменных нет.
Если A – формула, то A тоже формула. Свободные и связанные переменные формулы ( A) - это соответственно свободные и связанные переменные формулы A.
Например, S
(v,
w,
u)
– атомарная формула, в которой v,
w
и u
– свободные переменные; (
x)(
y)
S
(x,
y,
z)
(
x)R
(x,
t)
– формула, в которой x
и y
– связанные переменные, а z
и t
– свободные.
Под интерпретацией понимают систему, состоящую из непустого множества, на котором определён предикат, и соответствия между элементами этого множества и значениями предиката на них.
Машины Тьюринга. Тезис Тьюринга.
Машина Тьюринга
– это математическая модель ЭВМ. Она
состоит из: 1) бесконечной в обе стороны
ленты, разбитой на ячейки. В каждой
ячейке записан один из символов алфавита:
a
,
a
,
… , a
.
В алфавите всегда существует пустой
символ (или пробел), например, a
.
Для своей задачи каждый берёт свой
алфавит.
2) внутренней памяти
q
,
q
,
… , q
- внутренних состояний машины. Какое-то
из внутренних состояний конечное
(например, q
),
какое-то – начальное (например, q
).
Для каждой задачи берётся свой набор
внутренних состояний, но начальное и
конечное состояния существуют всегда.
Эти состояния могут и совпасть.
3) управляющей головки, двигающейся в обе стороны вдоль ленты в дискретные моменты времени. Головка читает символы алфавита, анализирует их, записывает новые символы и двигается по ленте по программе. В зависимости от внутреннего состояния в данный момент и от символа на воспринимаемой ячейке, в следующий момент машина переходит в новое состояние, записывает на ячейку новый символ. Попав в конечное состояние, машина прекращает работу.
Конфигурация
на ленте состоит из: 1) последовательности
a
,
a
,
… , a
символов алфавита на ленте. Считается,
что в обе стороны ленты бесконечное
количество пустых символов и их писать
не обязательно. 2) внутреннего состояния
q
.
3) номера воспринимаемой ячейки.
Если, находясь
в данный момент во внутреннем состоянии
q
и читая с ячейки a
,
в следующий момент машина переходит в
состояние q
,
пишет на ленте a
и двигается по ленте, то это будет
команда: q
a
q
a
S,
где S={L,
R,
C}
(влево, вправо, стоп). При этом машина
одну конфигурацию переводит в другую.
Программа – это совокупность всех команд, выполняемых машиной. Каждая программа должна содержать не более одной команды для каждого набора q a , начинающуюся словами q a . Если известно, что какой-то набор q a никогда не реализуется, то команду с ним можно не писать. Порядок команд в программе произволен.
Машина Тьюринга – это набор из алфавита, внутренних состояний и программы. Кроме того, надо указать конфигурацию в начальный момент времени.
Пример: функция f(x)=2 x. Ставим головку на самый левый не пустой символ, если он есть. Числа x ограничены сверху числом t (x <= t).
q
/
q
/ R
q
- память о 1 (единице)
q
0
q
0 C
2
0=0
q 0 q 0 C стоп
q
/
q
/ R
q
-
память о 2 (двойке)
……………..
q
/
q
/ R
q
-
память о t
q
0
q
/ R
q
-
память, что надо дописать ещё (t-1)
палок
q
0
q
/ R
q
- память, что надо дописать ещё (t-2)
палок
……………..
q
0
q
/
R
q
- память, что надо дописать ещё одну
палку
q 0 q / C всё дописано
q / q / C стоп
q 0 q / R
q
0
q
/ R
……………..
q 0 q / R
q 0 q / C
Команда с левой
частью q
/ отсутствует, так как числа x
не превышают числа t.
Здесь q
- это начальное состояние машины. Первая
половина программы (с памяти о 1 до памяти
о t)
– это блок чтения. Вторая половина
программы – это блок записи и остановки.
Вся программа целиком выполняется
только тогда, когда на ленте записано
число t
(t
палок). Если записано меньшее число, то
часть команд не выполняется.
Тезис Тьюринга: всякий алгоритм может быть реализован с помощью
некоторой машины Тьюринга. Без доказательства.