Теорема о существовании приведённой формы для каждой формулы логики предикатов.
Теорема: для любой формулы существует равносильная ей приведённая формула, причём множества свободных и связанных переменных этих формул совпадают. Такая приведённая формула называется приведённой формой данной формулы.
17. Теорема о существовании нормальной формы для каждой приведённой формулы логики предикатов.
Теорема: для любой приведённой формулы существует равносильная ей нормальная формула той же длины. Такая формула называется нормальной формой данной приведённой формулы.
Выполнимость и общезначимость формул логики предикатов. Теорема Черча.
Формула A выполнима в данной интерпретации, если существует набор <s1, … , sn> значений свободных переменных x1, …, xn формулы A, такой что A(s1, … , sn) = 1.
Формула A истинна в данной интерпретации, если она принамает значение 1 на любом наборе <s1, … , sn> значений своих свободных переменных x1, …, xn.
Формула A общезначима или тождественно – истинна (в логике предикатов), если она истинна в каждой интерпретации.
Формула A выполнима (в логике предикатов), если существует интерпретация, в которой она выполнима.
Формула A общезначима тогда и только тогда, когда формула A не является выполнимой, и формула A выполнима тогда и только тогда, когда формула A не является общезначимой.
Очевидно, что если F и G равносильные (в логике предикатов) формулы, то F ~ G – общезначимая формула.
Теорема Чёрча: не существует алгоритма, который для любой формулы логики предикатов устанавливает, общезначима она или нет. Без доказательства. Другими словами, логика предикатов не разрешима (для предикатов нет таблицы истинности).
Исчисление предикатов: аксиомы и правила вывода. Ослабленная теорема о дедукции.
Сформулированное
в логике предикатов определение формулы
остаётся в силе и для ИП (с той лишь
разницей, что в ИП употребляются только
два логических символа:
,
).
Остальные логические символы можно
ввести так, как это сделано в ИВ.
К системе аксиом исчисления высказываний
в исчислении предикатов добавляются
ещё две: А4 и А5 (или
11
и
12).
При решении задач по исчислению
предикатов можно пользоваться одной
из двух систем аксиом ИП (двумя сразу
нельзя). Каковы бы ни были формулы A,
B
и C
следующие формулы являются аксиомами
ИП (при этом не должно нарушаться
определение формулы):
А1. А (В А) 1. А (В А)
А2. (А (В С)) ((А В) (А С)) 2. (А В) ((А (В С)) (А С))
А3. ( В А) (( В А) В) 3. А В А
A4.(
x)А(x)
А(y),
где y
A(x)
4.
А
В
В
A5.А(y)
(
x)А(x),
где y
A(x)
5.
А
(В
(А
В))
6. А (А В)
7. В (А В)
8. (А С) ((В С) ((А В) С)
9. (А В) ((А В) А)
10. А А
11.( x)А(x) А(y), где A(x) не содержит y
12.А(y) ( x)А(x), где A(x) не содержит y
При выводе в ИП можно использовать и 7 теорем: Т1. А А. Т2. А А. Т3. А (А В). Т4. ( В А) (А В). Т5. (А В) ( В А). Т6. А ( В (А В)). Т7. (А В) (( А В) В).