14. Предикаты, кванторы, их область действия. Свободные и связанные переменные.
Предикат – это
логическая функция предметных переменных.
Предикат от n
аргументов называют n
– местным предикатом. Например: на
множестве натуральных чисел N
имеется два трёхместных предиката:
S
(x,
y,
z)
= 1
x
+ y
= z
(предикат суммы), P
(x,
y,
z)
= 1
x
y
= z
(предикат произведения)
Кроме операций логики высказываний в логике предикатов применяется ещё и операция связывания квантором.
Квантор общности:
.
(
x)
Q
(x)
= 1, если Q
(x)
= 1 для каждого x
из множества, на котором определён
предикат Q(x).
Читается этот предикат так: «для каждого
x
Q
(x)».
Это высказывание уже не зависит от x.
Например, (
x)
R
(x,x)
– истинное высказывание, а (
x)
R
(x,x)
– ложное.
Квантор
существования:
.
(
x)
Q
(x)
= 1, если существует x такое, что Q
(x)
= 1. Читается этот предикат так: «существует
x
такое, что Q
(x)».
Это высказывание уже не зависит от x.
Например, (
x)
(C
(x)
& H
(x))
– истинное высказывание, а (
x)(
R
(x,x))
– ложное.
Слово в алфавите логики предикатов называется формулой, если оно символ предиката. Такая формула называется атомарной. Все переменные атомарных формул свободные, связанных переменных нет.
Если A – формула, то A тоже формула. Свободные и связанные переменные формулы ( A) - это соответственно свободные и связанные переменные формулы A.
Если A и B – формулы и нет таких предметных переменных, которые были бы свободны в одной формуле и связаны в другой, тогда (A B), (A B), (A & B), (A ~ B) есть формулы, в которых свободные переменные формул A и B остаются свободными, а связанные – связанными.
Если A – формула, содержащая свободную переменную x, тогда ( x)A и ( x)A тоже формулы. Переменная x в них связана. Остальные переменные, которые в формуле A свободны, остаются свободными и в формулах ( x)A и ( x)A. Переменные, которые в формуле A связаны, остаются связанными и в этих двух формулах. Формула A в этих двух формулах называется областью действия кванторов. По определению формулы никакая переменная не может быть одновременно свободной и связанной.
Равносильность формул логики предикатов. Правила перехода к равносильным формулам в логике предикатов, совпадающие с аналогичными правилами в логике высказываний.
Пусть формулы F и G имеют одно и то же множество свободных переменных (в частности, пустое).
Формулы F и G равносильны в данной интерпретации, если на любом наборе свободных переменных они принимают одинаковые значения (т.е. если формулы выражают в данной интерпретации один и тот же предикат).
Формулы F и G равносильны на множестве M, если они равносильны во всех интерпретациях, заданных на множестве M.
Формулы F и G равносильны (в логике предикатов), если они равносильны во всех множествах (тогда будем писать F G).
Укажем несколько правил перехода от одних формул к другим, им равносильным (во всех интерпретациях). Для формул ЛП сохраняются все равносильности и правила равносильных преобразований логики высказываний. Кроме того, существуют следующие правила:
1. Перенос квантора через отрицание. Пусть A – формула ЛП, содержащая свободную переменную x. Тогда справедливы равносильности
( x) A(x) ( x) A(x);
( x) A(x) ( x) A(x).
Поскольку кванторов всего два, то можно считать их противоположными друг другу. Тогда это правило можно формулировать и так: при переносе квантора через отрицание он меняется на противоположный.
2. Вынос квантора за скобки. Пусть формула A(x) содержит свободную переменную x, формула B не содержит переменной x и нет переменных, свободных в одной из них и связанных в другой. Тогда
( x) (A(x) & B) ( x) A(x) & B;
( x) (A(x) & B) ( x) A(x) & B;
( x) (A(x) B) ( x) A(x) B;
( x) (A(x) B) ( x) A(x) B.
3. Перестановка одноименных кванторов:
( x) ( y) A(x, y) ( y) ( x) A(x, y);
( x) ( y) A(x, y) ( y) ( x) A(x, y).
4. Переименование связанных переменных. Заменяя связанную переменную формулы A другой переменной, не входящей в эту формулу, в кванторе и всюду в области действия квантора, получаем формулу, равносильную A. Это правило применяется при составлении формул ЛП из формул A и B, если есть переменные, свободные в одной из них и связанные в другой. Такую связанную переменную заменяем другой переменной, не входящей в эти формулы.