Теорема дедукции и два её следствия. Правило modus ponens.
Вывод теоремы A A сложен. Начинаем упрощать (укорачивать) вывод теорем ИВ и следствий из гипотез. Теорема: если Г A и B – любая формула, то Г B A. Доказательство: пусть A1, … , An = A - вывод формулы A из Г. Тогда A1, … , An, A (B A), B A – вывод формулы B A из Г. Здесь An = A, предпоследний шаг вывода получен по схеме аксиомы A1, а формула B A получена по правилу m.p. из двух предпоследних шагов вывода. Теорема доказана.
Теорема о дедукции: Пусть набор гипотез Г (может быть и пустой) и выделенная гипотеза A приводят к B: Г, A B. Тогда Г A B. Доказательство проведём индукцией по n – длине вывода формулы B из Г и A. Пусть B1, … , Bn – это вывод формулы B из Г и A. Делаем первый шаг индукции. При n = 1 B = B1. По определению вывода ИВ возможны три случая: B1 – это аксиома, или формула из множества гипотез Г, или B1 = A = B. Для аксиомы и формулы из Г имеем: Г B1. Согласно только что доказанной теоремы для каждой формулы A Г A B1, т.е. Г A B.
Для B = A формула A B имеет вид A A, что является теоремой ИВ ( A A). Отсюда Г A A. Первый шаг индукции по длине вывода n доказан. Сделаем индуктивное предположение, что если длина вывода формулы B из Г и A меньше n, то теорема о дедукции выполняется. Из этого докажем, что теорема верна и для длины вывода, равного n.
По определению вывода ИВ возможны четыре случая: Bn – это аксиома, или формула из множества гипотез Г, или Bn = A = B, или Bn получена по m.p. из предыдущих шагов вывода Bi и Bj, где i < n и j < n. В первых трёх случаях доказательство проводится как при n = 1. В четвёртом случае либо Bj = Bi Bn, либо Bi = Bj Bn. Ограничимся рассмотрением случая, когда Bj = Bi Bn.
Вывод формулы Bi – это первые i формул из вывода формулы Bn из Г и A. Вывод формулы Bj – это первые j формул из вывода формулы Bn из Г и A. Длины этих выводов меньше n, так как i < n и j < n. Отсюда для формул Bi и Bj работает индуктивное предположение:
Г A Bi;
Г A Bj (Г A (Bi Bj));
по схеме аксиом A2 имеем:
Г (A (Bi Bj)) ((A Bi) (A Bn)), где вместо B подставлена Bi, а вместо C – Bn;
применяя шестое свойство выводимости из гипотез к (2) и (3), получаем:
Г (A Bi) (A Bn);
применяя шестое свойство выводимости из гипотез к (1) и (4), получаем:
Г (A Bn). Теорема о дедукции доказана.
Полнота и непротиворечивость исчисления высказываний. Независимость аксиом.
Свойство аксиоматической теории выводить любой логический закон (как, например, тавтологии в ИВ) называют её полнотой (в широком смысле). Из доказанных выше теорем следует, что ИВ – это полная аксиоматическая теория.
Формальную
аксиоматическую теорию называют
непротиворечивой, если не существует
формулы A,
такой, что одновременно выводимы формулы
A
и
A.
Теорема:
ИВ непротиворечиво. Доказательство:
всякая выводимая в ИВ формула тождественно
- истинна. Отрицание этой формулы не
является тождественно - истинной
формулой. Следовательно, ни для какой
формулы A
невозможно, чтобы одновременно
A
и
A.
Теорема доказана.
Оказывается, что система аксиом A1 – A3 исчисления высказываний независима. Установим независимость аксиомы A3 от остальных. Будем считать, что переменные принимают значения из множества {a, b} (двузначная логика). Операции и зададим таблицами:
-
X
X
a
a
b
b
X |
Y |
X Y |
a |
a |
a |
a |
b |
b |
b |
a |
a |
b |
b |
a |