10. Минимизация днф. Метод минимизирующих карт.

Минимизация проводится в классе ДНФ методом минимизирующих карт. Функция должна быть задана её таблицей истинности или её СДНФ. Минимизирующая карта имеет 2 строк, где n – число переменных функции, и на (2 - 1) столбцов. Например, для n = 3:

x	y	z	x y	x z	y z	x y z
x	y	z	x y	x z	y z	x y z
x	y	z	x y	x z	y z	x y z
x	y	z	x y	x z	y z	x y z
x	y	z	x y	x z	y z	x y z
x	y	z	x y	x z	y z	x y z
x	y	z	x y	x z	y z	x y z
x	y	z	x y	x z	y z	x y z

Использование карты основано на следующем: если какая-то конъюнкция последнего столбца карты не входит в СДНФ функции, то все конъюнкции этой строки не входят ни в одну ДНФ функции. Если бы какая-то конъюнкция строки вошла в ДНФ функции, то при получении из этой ДНФ СДНФ эту конъюнкцию расщепили бы по недостающим в ней переменным и получили бы конъюнкцию последнего столбца.

11. Аксиоматические теории. Определения и свойства исчисления высказываний.

Исчисление высказываний – это пример аксиоматической теории. ИВ определяется следующим образом:

1. Алфавит ИВ – это высказывательные переменные, скобки: (, ) и логические символы и . Любой набор символов алфавита ИВ (даже бессмысленный) – это выражение ИВ.

2. Имеется подмножество выражений, называемое формулами ИВ. Формулы ИВ: а) все высказывательные переменные – это формулы; б) если A и B формулы, то A и A B тоже формулы. Формулы ИВ – это подмножество формул логики высказываний, содержащих только логические символы и .

3. Выделено некоторое подмножество формул, называемое аксиомами ИВ. Каковы бы не были формулы A, B и C, следующие формулы являются аксиомами ИВ:

A1. A (B A);

A2. (A (B C)) ((A B) (A C));

A3. ( B A) (( B A) B).

Выражения A1 – A3 называются схемами аксиом, поскольку каждое из них порождает бесконечное множество аксиом ИВ. Например, формула X (Y X) есть аксиома, полученная по схеме A1, а формула ( A A) (( A A) A) – аксиома ИВ, полученная по схеме A3.

4. Имеется правило вывода ИВ, позволяющее из предыдущих формул вывода получать последующие. Выводом в ИВ называется всякая последовательность формул ИВ (шагов вывода) такая, что любая формула есть либо аксиома или теорема ИВ, либо получена из предыдущих формул вывода с помощью правила вывода ИВ.

Формула T называется теоремой ИВ, если существует вывод, в которой эта формула является последней. Этот вывод называется выводом теоремы T ИВ: T. Слева от символа аксиомы ИВ, теоремы ИВ и то, что получено из них по правилу вывода ИВ, не записывается.

Правило вывода m.p.(modus ponens): если в выводе есть две формулы вида А В и А, то после них в выводе можно писать формулу В. Считается, что формула В получена по правилу m.p. из формул А и А В. Правило записывается так: или А, А В В. Порядок формул А и А В в выводе не важен (A может встретиться в выводе раньше А В, а может и позже), но формулу B нельзя писать раньше, чем А и А В появятся в выводе.

Все аксиомы ИВ – это тавтологии, что можно проверить по их таблице истинности. По правилу m.p. из тавтологий можно получить только тавтологии.