8. Теорема Поста, её необходимость. Таблица Поста.

Теорема Поста: для того, чтобы система булевых функций F = {F1, … , Fm} была полной, необходимо и достаточно, чтобы для каждого из классов T , T , S, L и M нашлась функция Fj из системы F, не принадлежащая этому классу.

Доказательство необходимости: Классы T , T , S, L и M попарно различны и не совпадают с классом всех булевых функций. Если бы все функции системы F принадлежали какому-либо из этих классов, то в силу замкнутости этого класса система F не была бы полной. Необходимость теоремы доказана.

Функция	T	T	S	L	M
	+	+	-	-	+
	+	+	-	-	+
	-	-	+	+	-

f0

f1

f2

f3

f4

f5

f6

f7

f8

f9

f10

f11

f12

f13

f14

f15

T

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

-

T

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

S

-

-

-

+

-

+

-

-

-

-

+

-

+

-

-

-

L

+

-

-

+

-

+

+

-

-

+

+

-

+

-

-

+

M

+

+

-

+

-

+

-

+

-

-

-

-

-

-

-

+

9. Независимая система функций и базис функционально замкнутого класса.

Система функций независима, если ни какая функция из системы не может быть выражена с помощью суперпозиций через остальные функции системы. Система { , } независима, так как T , T , L, L. Для определения независимости функций надо найти два класса из пяти такие (можно по таблице Поста), что одна функция принадлежит первому классу и не принадлежит второму, а вторая функция наоборот принадлежит второму классу и не принадлежит первому. Система { , , } зависима, смотри выше законы Моргана.

Независимая система функций называется базисом функционально замкнутого класса, если всякая функция из этого класса есть суперпозиция функций из этой системы. Системы функций {&, } и { , } – базисы класса всех булевых функций.

Система функций {~, 0} – базис класса L. Это независимая система функций, так как 0 принадлежит классу M, а ~ не принадлежит классу M, 0 не принадлежит классу T , а ~ принадлежит классу T . Каждая линейная функция выражается суперпозициями функций + и , поскольку x = x + 1. Но эти функции в свою очередь выражаются через 0 и ~: x = x ~ 0, x + y = (x ~ y).