4. Разрешимость для логики высказываний. Контактные схемы.

Разрешимость для логики высказываний – это существует ли процедура, позволяющая для каждой формулы за конечное число шагов определить, является ли эта формула тавтологией. Логика высказываний разрешима, так как для каждой формулы можно построить её таблицу истинности.

Существует и другая процедура проверки того, что формула является тавтологией: формула является тавтологией тогда и только тогда, когда для каждой её КНФ в любую из элементарных дизъюнкций (скобок) входят одновременно какая-то переменная и её отрицание.

5. Нормальные формы формул. Теорема о единственности сднф и скнф.

Формула находится в дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ), если она является дизъюнкцией (может быть и одночленной) элементарных конъюнкций. Например, формулы (x y) ( x y z), y (t & s), t, y находятся в ДНФ. Формула находится в конъюнктивной нормальной форме (КНФ), если она является конъюнкцией (может быть и одночленной) элементарных дизъюнкций. Например, формулы (x y) & ( x y z), y & (t s), t, y находятся в КНФ.

Из всех нормальных форм формулы выделим совершенные формы. Из ДНФ выделим Совершенную ДНФ (СДНФ). Формула находится в СДНФ относительно своего списка переменных, если каждый её дизъюнктивный член содержит по одному разу в прямом или инверсном виде все переменные формулы, и все её дизъюнктивные члены попарно различны. Например, формула в СДНФ: (x & y & z) (x & y & z) ( x & y & z).

6. Полные системы булевых функций. Суперпозиции. Теорема о полноте системы функций, выраженных с помощью суперпозиций через функции другой полной системы.

Система булевых функций называется полной, если любая булева функция может быть выражена через функции системы с помощью суперпозиций (т.е. составления сложных функций). Например, система из трёх функций { , &, } является полной, так как каждая булева функция имеет свои ДНФ и КНФ.

Суперпозицией f и g называется функция, полученная подстановкой одной из этих функций в другую вместо переменной. Пусть f = x ~ y и g = t & p. Из этих двух функций можно составить четыре суперпозиции: (t & p) ~ y (функция g заменила переменную x), x ~ (t & p) (функция g заменила переменную y), (x ~ y) & p (функция f заменила переменную t) и t & (x ~ y) (функция f заменила переменную p). Процесс замены переменных функциями можно продолжать сколь угодно долго.

Теорема: если система функций F = {F1, …, Fm} полная и любая из функций этой системы может быть выражена с помощью суперпозиций через функции системы функций G = {G1,…, Gt}, то система функций G тоже является полной. Доказательство: берём любую функцию и выражаем её с помощью суперпозиций через функции системы F. Это возможно, так как система F полная. Далее заменяем все функции из системы F функциями из системы G и получаем, что любая функция может быть выражена через функции системы G. Теорема доказана.

7. Функционально замкнутые классы булевых функций. Замкнутые классы t0 , t1.

Класс (множество) булевых функций функционально замкнут, если вместе с функциями он содержит все их суперпозиции. Класс всех булевых функций замкнут. Класс функций от одной переменной замкнут. Класс булевых функций от двух переменных не замкнут, так как если взять две функции от двух переменных f = x ~ y и g = t & p, то их четыре суперпозиции: (t & p) ~ y, x ~ (t & p), (x ~ y) & p и t & (x ~ y) будут зависеть от трёх переменных.

Класс T - это класс функций, хранящих ноль. Функция принадлежит T , если во всех нулях она равна нулю. Например, из 16 функций от двух переменных функции: f0, …, f7 принадлежат T , так как при x = 0 и y = 0 эти функции имеют значение ноль. Тогда как функции: f8, …, f15 не принадлежат T , так как при x = 0 и y = 0 эти функции имеют значение единица.

Класс T - это класс функций, хранящих единицу. Функция принадлежит T , если во всех единицах она равна единице. Например, из 16 функций от двух переменных восемь функций с нечётными номерами: f1, f3,…, f13, f15 принадлежат T , так как при x = 1 и y = 1 эти функции имеют значение единица. Тогда как восемь функций с чётными номерами: f0, f2, …, f12, f14 не принадлежат T , так как при x = 1 и y = 1 эти функции имеют значение ноль.