29.Функционально замкнутые классы l и m и доказательство их замкнутости.
Класс L – это класс линейных функций. Функция линейна, если линеен её полином Жигалкина. Для инверсии полином Жигалкина имеет вид: x + 1= x, он линеен и «+» - это сложение по модулю два. Для дизъюнкции: x y=xy + x + y, он не линеен и xy – это x y, это и есть нелинейность. Из 16 функций от двух переменных восемь функций: f0, f15, f3, f12, f5, f10, f6 и f9 принадлежат классу L, так как линеен их полином Жигалкина.
Класс M
– это класс монотонных функций. Введём
отношение частичного порядка на множестве
оценок списка переменных. Оценка a
= <a1,
… ,ak>
меньше оценки b
= <b1,
… , bk>,
если они не равны и для каждого j
= 1, … , k
aj
bj.
Другими словами, оценка a
во всех позициях не больше оценки b.
30. Косвенные методы доказательства и равносильности, на которых они основаны.
Рассмотрим условное высказывание A B, где A – конъюнкция посылок, B = заключение. Иногда удобнее вместо доказательства истинности этого условного высказывания установить истинность равносильного этому высказывания. Это косвенные методы доказательства.
Одним из них является способ доказательства от противного. Предположим, что утверждение A B ложно. Тогда придём к противоречию, т.е. получим, что некоторое утверждение C одновременно истинно и ложно. Применимость доказательства от противного оправдывается равносильностью A B ( A B) (C & C) ( A& B) (C& C).
Существуют и другие схемы доказательства от противного: A B (A& B) A, A B (A& B) B. Косвенным методом доказательства является доказательство по закону контрапозиции, основанное на равносильности A B B A, когда вместо истинности A B доказывается истинность B A.
31. Схемы правильных и неправильных рассуждений.
Рассуждение называется правильным, если из конъюнкции посылок следует заключение, т.е. всякий раз, когда все посылки истинны, заключение тоже истинно.
Пусть P1,
P2,
… , Pn
– посылки, D
– заключение. Тогда для определения
правильности рассуждения по схеме
,
т. е. утверждения о том, что из данных
посылок P1,
P2,
… , Pn
следует заключение D,
требуется установить тождественную
истинность формулы (P1
& P2
& … & Pn)
D.
Истинность (ложность) заключения не
влияет на правильность рассуждения.
Рассуждение по
схеме
неправильное, так как формула ((A
B)&B)
A
не является тождественно-истинной (на
наборе A
= 0, B
= 1 она ложна). Например, A
B
= «если число простое, то оно нечётное»,
B
= «число нечётное», тогда заключение A
= «число простое». Нечётное число может
и не быть простым, например число 33.
32. Количество булевых функций от n переменных. Булевы функции от двух переменных. Полные системы, состоящие из одной функции.
Любую булеву
функцию от n
переменных можно задать таблицей
истинности из двух в n-й
степени строк. Последний столбец таблицы
истинности задаёт булеву функцию.
Существует два в степени два в n-й
степени (2
)
способов задать булеву функцию от n
переменных. Столько же существует
булевых функций от n
переменных. При n
= 2 существует 16 булевых функций от двух
переменных x
и y:
x |
y |
f0=0 |
f1=x&y |
f2= f13 |
f3=x |
f4= f11 |
f5=y |
f6=x+y |
f7=x y |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
x |
y |
f8=x y |
f9=x~y |
f10= y |
f11= y x |
f12= x |
f13=x y |
f14=x |
f15=1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Система булевых функций называется полной, если любая булева функция может быть выражена через функции системы с помощью суперпозиций (т.е. составления сложных функций). Например, система из трёх функций { , &, } является полной, так как каждая булева функция имеет свои ДНФ и КНФ.