Многочлен Жигалкина. Количество многочленов Жигалкина для n переменных. Единственность многочлена Жигалкина для каждой булевой функции.
Многочлен Жигалкина является суммой константы 0 или 1 и различных одночленов (элементарных конъюнкций переменных без инверсий), в которые все переменные входят не более одного раза (могут не входить). Причём все одночлены в многочлене Жигалкина различны.
Подсчитаем
число различных многочленов Жигалкина.
Количество различных одночленов из n
переменных равно числу всех подмножеств
множества мощности n
(мощности множества – степени), т.е.
равно два в степени n.
Пустое подмножество здесь – это константа
1. Например, при n
= 2 имеет четыре одночлена: x
y,
x,
y
и 1.
Число полиномов (многочленов) Жигалкина равно числу булевых функций (от n переменных), т.е. между полиномами и функциями можно установить взаимно однозначное соответствие, что доказывает единственность полинома Жигалкина для каждой булевой функции. Все полиномы Жигалкина от двух переменных x и y и функции f0, … , f15, которым они соответствуют:
0 |
1 |
x |
x+1 |
y |
y+1 |
x+y |
x+y+1 |
f0=0 |
f15=1 |
f3=x |
f12= x |
f5=y |
f10= y |
f6=x+y |
f9=x~y |
xy |
xy+1 |
xy+x |
xy+y |
xy+x+1 |
xy+y+1 |
xy+x+y |
xy+x+y+1 |
f1=x&y |
f14=x |
f2= (x y) |
f4= (y x) |
f13= x y |
f11= y x |
f7=x y |
f8=x |
y
Правила перехода к равносильным формулам в логике предикатов: перестановка одноименных кванторов и переименование связанных переменных.
3. Перестановка одноименных кванторов:
( x) ( y) A(x, y) ( y) ( x) A(x, y);
( x) ( y) A(x, y) ( y) ( x) A(x, y).
4. Переименование связанных переменных. Заменяя связанную переменную формулы A другой переменной, не входящей в эту формулу, в кванторе и всюду в области действия квантора, получаем формулу, равносильную A. Это правило применяется при составлении формул ЛП из формул A и B, если есть переменные, свободные в одной из них и связанные в другой. Такую связанную переменную заменяем другой переменной, не входящей в эти формулы. Это утверждение доказывается индукцией по длине формулы.
28. Функционально замкнутый класс s и принцип двойственности.
Класс S
– это класс самодвойственных функций.
Функция f(x,y,
… ,w)
самодвойственна, если f(x,y,
… ,w)=
f(
x,
y,
… ,
w)
= f
.
Число самодвойственных функций от n
переменных равно 2
,
так как самодвойственная функция может
быть задана своей половиной таблицы
истинности. Например, рассмотрим функцию
f
= x
+ y
+ z.
Она принадлежит классу S,
так как f
=
(
x
+
y
+
z)
= (x
+ 1) + (y
+ 1) + (z
+ 1) + 1 = x
+ y
+ z
= f.
Теорема (принцип двойственности): Функция, двойственная суперпозиции функций, равна суперпозиции двойственных функций.