Формулы логики высказываний и их равносильность. Правило равносильных преобразований.
Алфавит логики
высказываний содержит следующие символы:
высказывания (иначе называемые
высказывательными переменными);
логические символы &,
,
и ~; скобки ( и ), которые меняют порядок
выполнения логических операций. Любой
набор символов алфавита (даже бессмысленный)
называется словом. Формулы – это
подмножество слов.
Формулы
A
и B
(A
B)
равносильны, если они зависят от одного
и того же списка переменных и на любой
оценке списка их значения совпадают.
Другими словами, формулы равносильны,
если совпадают их таблицы истинности.
1). А
В
В
А
коммутативность
2). А А А идемпотентность
3). А (В С) (А В) С ассоциативность
4).
А
В
В
А
коммутативность
5). А а а идемпотентность
6). А (в с) (а в) с ассоциативность
7) А (В С) (А В) (А С) дистрибутивность относительно
8) А (в с) (а в) (а с) дистрибутивность относительно
9). А (А В) А первый закон поглощения
10). А (А В) А второй закон поглощения
11).
А
А
снятие двойного отрицания
12). (А В) А В первый закон Моргана
13). (А В) А В второй закон Моргана
14). А (А В) (А В) первая формула расщепления
15). А (А В) (А В) вторая формула расщепления
Приведём правило
равносильных преобразований,
с помощью которого можно переходить от
одних равносильностей к другим. Пусть
A
B
и C
– произвольная формула. Тогда
A
B,
A&C
B&C,
A
C
B
C,
A
C
B
C,
C
A
C
B,
A~C
B~C.
2. Тождества логики высказываний, правильные рассуждения.
Формула называется тавтологией (или тождественно-истинной), если на любых оценках своего списка переменных она принимает значение 1. В последнем столбце таблицы истинности этой формулы 0 нет.
Формула называется выполнимой, если на некоторой оценке своего списка переменных она принимает значение 1. В последнем столбце таблицы истинности этой формулы есть хоть одна 1.
Формула называется тождественно-ложной, если на любых оценках своего списка переменных она принимает значение 0. В последнем столбце таблицы истинности этой формулы 1 нет.
Формула называется опровержимой, если на некоторой оценке своего списка переменных она принимает значение 0. В последнем столбце таблицы истинности этой формулы есть хоть один 0.
Рассуждение называется правильным, если из конъюнкции посылок следует заключение, т.е. всякий раз, когда все посылки истинны, заключение тоже истинно.
3. Двойственность. Закон двойственности.
Логические символы
и
называют двойственными друг другу.
Формула А
двойственна
формуле А, если она получена из А
одновременной заменой
и
на двойственные. Например, формула F=A
(B&
C)
двойственна формуле F
=A&
(B
C).
Это первый способ получения двойственной
формулы.
Теорема
(принцип двойственности): если A
B,
то A
B
.
Доказательство:
Пусть на некоторой оценке s
общего списка переменных для всех
четырёх рассматриваемых формул формула
A
принимает значение 1. Тогда формула A,
двойственная A
,
принимает значение 0 на оценке t,
двойственной оценке s.
Так как A
B,
то формула B
тоже принимает значение 0 на оценке t.
Отсюда формула B
,
двойственная B,
принимает значение 1 на оценке s,
двойственной оценке t.
Поскольку оценка s
произвольна, то получаем, что A
B
.