Завдання для самостійної роботи

I. Обчислити криволінійні інтеграли:

а) де відрізок прямої між точками і ;

б) , де прямокутник з вершинами ;

в) , де коло ;

г) де арка циклоїди ;

д) , де верхня половина еліпса по ходу стрілки годинника;

е) , де лінія від точки до точки .

II. За допомогою формули Гріна обчислити криволінійний інтеграл

, де коло .

III. Вказати криволінійний інтеграл по координатах, який не залежить від

шляху інтегрування

а) ;

б) ;

в) .

5. Звичайні диференціальні рівняння. Диференціальне рівняння першого порядку.

Диференціальним рівнянням називають рівняння, яке зв’язує незалежну змінну , шукану функцію та її похідні (або диференціали):

, або

.

Порядок диференціального рівняння визначається найвищим порядком похідної (диференціала) цього рівняння.

Розв’язком диференціального рівняння називається функція , яка при підстановці у це рівняння перетворює його на тотожність.

Диференціальне рівняння першого порядку має вигляд

, (5.1)

де незалежна змінна, шукана функція, похідна шуканої функції.

Якщо рівняння можна розв’язати відносно похідної, то його записують у вигляді

.

Розв’язком диференціального рівняння (5.1) на деякому інтервалі називається диференційована на цьому інтервалі функція , яка при підстановці в рівняння (5.1) перетворює його на тотожність на .

Функція , де довільна стала, називається загальним розв’язком рівняння (5.1) в області , якщо вона задовольняє дві умови:

1) функція є розв’язком рівняння при будь-якому значенні сталої з деякої множини;

2) для довільної точки можна знайти таке значення , що функція задовольняє початкову умову:

.

Частинним розв’язком рівняння (5.1) називається функція , яка утворюється із загального розв’язку при певному значенні .

Якщо загальний розв’язок диференціального рівняння знайдено в неявному вигляді, тобто , то такий розв’язок називають загальним інтегралом диференціального рівняння (5.1).

Види диференціальних рівнянь першого порядку:

1. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.

2. Однорідні диференціальні рівняння.

3. Лінійні диференціальні рівняння.

4. Диференціальні рівняння Бернуллі.

Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними мають вигляд:

,

(5.2)

де і задані і неперервні на деякому інтервалі функції. Вважаючи, що , дістанемо

або , . (5.3)

Рівняння (5.3) називається рівнянням з відокремленими змінними.

Інтегруючи обидві частини останнього рівняння отримаємо загальний інтеграл диференціального рівняння з відокремлюваними змінними:

.

Диференціальне рівняння (5.2) є окремим випадком рівняння виду:

(5.4)

Для відокремлення змінних у цьому рівнянні досить обидві його частини поділити на добуток , .

Функція називається однорідною функцією го виміру відносно змінних та , якщо для довільного виконується тотожність:

.

Диференціальне рівняння

(5.5)

називається однорідним, якщо функція є однорідною функцією нульового виміру, тобто, .

Підстановкою , де невідома функція, рівняння (5.5) зводиться до рівняння з відокремленими змінними:

.

Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду

, (5.6)

де та задані і неперервні на деякому проміжку функції.

Розв’язок рівняння (5.6) знаходимо у вигляді

, (5.7)

де та невідомі функції, причому одна з них функція довільна (але не дорівнює тотожно нулю). Після підстановки (5.7) в рівняння (5.6) рівняння (5.6) перетворюється на систему 2-х рівнянь з відокремлюваними змінними.

Рівняння Бернуллі має вигляд

, (5.8)

де .

При рівняння (5.8) буде лінійним, при рівнянням з відокремлюваними змінними. Метод розв’язання рівняння Бернуллі такий саме як і для лінійного рівняння, тобто розв’язок його знаходимо у вигляді .