За плоскою областю

I. Крива задана рівнянням , а точки і задані кордина-

тами :

. (4.4)

II. Крива задається параметричними рівняннями

.

. (4.5)

III. Крива задається рівнянням , .

. (4.6)

Формула Гріна встановлює зв’язок між подвійним інтегралом по плоскій області й криволінійним інтегралом по контуру цієї області. Формула Гріна має вигляд:

,

де Г – контур області функції неперервні в області , для яких існують неперервні частинні похідні і .

Нехай функції визначені і неперервні в однозв’язній обмеженій замкненій області площини . Тоді величина криволінійного інтеграла

не залежить від шляху інтегрування, а лише від початкової й кінцевої точок інтегрування та від функцій і , якщо буде виконуватися рівність:

Зразки розв’язування задач

Приклад 1. Обчислити криволінійний інтеграл , де відрізок прямої, яка сполучає точки і .

Розв’язання.

Рівняння прямої, якій задовольняють задані точки, знаходиться за формулою:

,

де задані точки.

Пряма має вигляд: або . Звідси .

За формулою (4.1) матимемо

.

Приклад 2. Обчислити криволінійний інтеграл першого роду , де коло .

Розв’язання.

Перейдемо до полярних координат: . Рівняння кривої набуває вигляду , де . Для обчислення інтеграла застосуємо формулу (4.3), оскільки . Отже

;

.

Приклад 3. Обчислити криволінійний інтеграл першого роду , де дуга циклоїди між точками та .

Розв’язання.

Знайдемо похідні функцій та за параметром :

.

За формулою (4.5) матимемо

.

Приклад 4. Обчислити криволінійний інтеграл , де відрізок прямої від точки до точки .

Розв’язання.

Запишемо рівняння прямої, що проходить через точки і :

.

Тоді . Скористаємось формулою (4.4):

.

Приклад 5. Обчислити інтеграл вздовж ламаної , де і .

Розв’язання.

Вздовж ламаної на ділянці маємо і , на ділянці .

Тому, згідно з формулою (4.4), маємо:

.

Приклад 6. Обчислити інтеграл , де частина гіперболічної спіралі від до .

Розв’язання.

Розглянемо полярну систему координат: , . Тоді .

За формулою (4.3) маємо

.

Приклад 7. За допомогою формули Гріна обчислити криволінійний інтеграл , де коло .

Розв’язання.

За умовами задачі ;

. Отже .

За формулою Гріна

.

Область коло з центром в точці і радіусом . Рівняння кола має вигляд:

.

Перейдемо до полярних координат з полюсом у центрі . Рівняння, яке зв’язує і полярні координати з полюсом у точці , має вигляд: .

Таким чином,

.

Приклад 8. Чи залежить криволінійний інтеграл від шляху інтегрування ?

Розв’язання.

За умовами задачі: . Знайдемо часткові похідні і : .

Отже, інтеграл залежить від шляху інтегрування.