Зразки розв’язування задач

Приклад 1. Знайти загальний розв’язок рівняння:

.

Розв’язання.

Загальний розв’язок рівняння має вигляд , де загаль-ний розв’язок відповідного однорідного рівняння . Характеристичне рівняння має корені . Отже .

Частинний розв’язок неоднорідного рівняння залежить від вигляду правої частини (маємо ).

Тоді . Для визначення невідомих коефіцієнтів та підставимо в початкове рівняння. Щоб це було можливим, знайдемо першу і другу похідні від частинного розв’язку :

Після підстановки в наше рівняння отримаємо

.

Розділимо рівняння на та приведемо подібні доданки. Маємо:

.

Прирівняємо коефіцієнти при в однакових ступенях:

Тобто, .

Отже, загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння

.

Приклад 2. Знайти загальний розв’язок рівняння:

.

Розв’язання.

Загальний розв’язок цього рівняння складається з двох компонентів . Характеристичне рівняння відповідного однорідного рівняння має вигляд . Його корені: . Загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд: .

Враховуючи, що , тобто, , а також, що , дістанемо частинний розв’язок неоднорідного рівняння:

або .

Знаходимо:

,

Підставляючи в початкове рівняння, отримаємо:

Розділимо обидві частини на та приведемо подібні доданки:

.

Прирівняємо коефіцієнти при в однакових ступенях.

Тоді, .

Дістанемо загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння у вигляді:

.

Приклад 3. Знайти загальний розв’язок рівняння:

.

Розв’язання.

Аналогічно попередньому, маємо .

Характеристичне рівняння має однакові корені . Отже, .

, тобто, . Частинний розв’язок даного неоднорідного рівняння буде мати вигляд:

або

Після підстановки цих виразів в початкове рівняння, дістанемо

, або

.

Частинний розв’язок неоднорідного рівняння буде:

,

а загальний : .

Приклад 4. Знайти загальний розв’язок рівняння:

.

Розв’язання.

Маємо: .

,

Отримаємо: .

Порівняємо коефіцієнти при та в обох частинах останнього рівняння:

Дістанемо систему рівнянь:

Розв’яжемо систему рівнянь за формулами Крамера:

;

;

.

Отже: , а

загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння.

Приклад 5. Знайти загальний розв’язок рівняння:

.

Розв’язання.

Маємо: .

, де . Загальний розв’язок однорідного рівняння .

Частинний розв’язок неоднорідного лінійного рівняння шукатимемо у вигляді :

,

,

Підставимо та в початкове рівняння та отримаємо:

Після низки арифметичних перетворень останнє рівняння набуває вигляду:

.

Порівняємо коефіцієнти при та :

Отримаємо систему рівнянь

яку розв’яжемо за формулами Крамера:

Тоді

Отже, маємо .

Загальний розв’язок неоднорідного рівняння дістанемо у вигляді:

.

Приклад 6. Знайти загальний розв’язок рівняння:

.

Розв’язання.

Загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння має вигляд . Оскільки , тобто , то частинний розв’язок неоднорідного рівняння буде:

,

,

Дістанемо:

Звідки, . Отже .

Загальним розв’язком лінійного неоднорідного рівняння буде функція .

Приклад 7. Знайти загальний розв’язок рівняння:

.

Розв’язання.

Загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння має вигляд . Права частина початкового рівняння складається з двох доданків: , де . Тому частинний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння теж складається з двох доданків: , де та є частинними розв’язками рівнянь:

та

відповідно.

Аналогічно попередньому маємо:

,

,

.

Отримаємо:

, або

.

Отже, .

Тоді .

Звідки, . Отже, .

Загальний розв’язок початкового лінійного неоднорідного рівняння дістанемо у вигляді:

.

Приклад 8. Розв’язати задачу Коші:

.

Розв’язання.

Аналогічно попередньому маємо:

Отже, загальний розв’язок однорідного рівняння буде

.

.

,

,

.

Підставимо в початкове рівняння:

, або

.

Частинний розв’язок диференціального рівняння має вигляд: , а загальний розв’язок ‒ .

Використаємо початкові умови, для цього знайдемо :

.

Маємо:

Отже, дістанемо розв’язок задачі Коші:

.

Приклад 9. Розв’язати задачу Коші:

.

Розв’язання.

Характеристичне рівняння відповідного однорідного диференціального рівняння має два рівних кореня . Отже, . Оскільки, права частина складається з суми двох різних функцій: , то кожній з них будуть відповідати частинні розв’язки та , а .

,

,

.

Маємо:

Розділимо це рівняння на :

.

Тобто, .

Знайдемо :

.

Прирівняємо коефіцієнти при та :

Отже: .

Дістанемо загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння

.

Використаємо початкові умови, щоб знайти та , для цього треба знайти похідну від загального розв’язку:

.

Тоді:

Таким чином, розв’язок задачі Коші має вигляд:

.

Приклад 10. Розв’язати систему рівнянь:

Розв’язання.

Систему лінійних однорідних диференціальних рівнянь першого порядку із сталими коефіцієнтами розв’яжемо зведенням її до одного диференціального рівняння другого порядку. Для цього перше рівняння системи продиференцюємо по :

.

Замість підставимо праву частину другого рівняння системи:

.

З останнього виразу виключимо змінну . Для цього використаємо перше рівняння системи:

.

Отже, маємо:

, або

Тоді,

.

Отже, загальний розв’язок системи