Завдання для самостійної роботи

Знайти загальні розв’язки диференціальних рівнянь другого порядку:

1) ; 7) ;

2) ; 8) ;

3) ; 9) ;

4) ; 10) ;

5) ; 11) ;

6) ; 12) .

7. Лінійні однорідні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами

Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку називається рівняння

.

Якщо та є сталі числа, то рівняння називається лінійним диференціальним рівнянням другого порядку із сталими коефіцієнтами.

Якщо , то рівняння називається однорідним, якщо неоднорідним.

Загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння має вигляд:

,

де та лінійно-незалежні частинні розв’язки рівняння, тобто , а довільні сталі.

Для знаходження треба розв’язати характеристичне рівняння:

.

Можливі наступні випадки:

корені характери- стичного рівняння	частинні розв’язки	‒ загальний розв’язок
дійсні різні числа,
дійсні однакові числа
комплексно- спряжені числа, уявна одиниця, дійсні числа.

Зразки розв’язування задач

Приклад 1. Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання.

Складемо характеристичне рівняння:

,

,

де корені характеристичного рівняння дійсні та різні, тобто, загальний розв’язок рівняння має вигляд .

Приклад 2. Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання.

Характеристичне рівняння має вигляд . Його корені – дійсні, рівні . Тоді загальний розв’язок рівняння має вигляд .

Приклад 3. Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання.

Маємо характеристичне рівняння .

,

.

Загальний розв’язок рівняння .

Приклад 4. Розв’язати задачу Коші:

.

Розв’язання.

Характеристичне рівняння має вигляд:

.

Його корені . Тоді, загальний розв’язок . Для того, щоб знайти частинний розв’язок треба визначити та . Це можна зробити, використовуючи початкові умови, але спочатку треба знайти похідну від загального розв’язку: . Дістанемо систему рівнянь:

Отже, частинний розв’язок рівняння: .

Приклад 5. Розв’язати задачу Коші:

.

Розв’язання.

Характеристичне рівняння . Його корені . Тоді загальний розв’язок . Знайдемо похідну :

.

Маємо систему рівнянь

Отже, розв’язок задачі Коші матиме вигляд:

.

Приклад 6. Розв’язати задачу Коші:

.

Розв’язання.

Характеристичне рівняння .

; .

Загальний розв’язок .

Обчислимо :

.

Використовуючи початкові умови, знайдемо та :

Отже, частинний розв’язок однорідного рівняння буде

.

Завдання для самостійної роботи

Знайти загальні та частинні розв’язки однорідних диференціальних рівнянь другого порядку:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) .

8. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння

другого порядку зі сталими коефіцієнтами із

спеціальною правою частиною

Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами:

.

Якщо права частина лінійного неоднорідного рівняння є функцією спеціального вигляду, то рівняння можна розв’язати методом невизначених коефіцієнтів, і загальний розв’язок має вигляд:

,

де загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння, частинний розв’язок неоднорідного рівняння, який залежить від функції та коренів характеристичного рівняння .

Можливі такі випадки:

1. Нехай , де многочлен степеня , тобто

, тоді:

а) якщо , тоді частинний розв’язок обираємо у вигляді , де многочлен ступеню з невідомими коефіцієнтами, тобто, якщо

,

,

,

;

б) якщо , тоді ;

в) якщо , тоді .

Зауваження 1. Для знаходження невідомих коефіцієнтів многочлена треба підставити функцію та її похідні першого та другого порядку в вихідне рівняння та прирівняти коефіцієнти при однакових ступенях з обох його сторін. Таким чином, дістанемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, з якої визначимо невідомі коефіцієнти.

2. Нехай , де многочлени степенів та , тоді існують такі випадки:

а) якщо , тоді , де многочлени ступеню з невідомими коефіцієнтами;

б) якщо , тоді .

Зауваження 2. У цьому випадку для знаходження невідомих коефіцієнтів многочленів та діємо так само, але прирівнюємо коефіцієнти при , внаслідок чого знов дістанемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, з якої визначимо невідомі коефіцієнти.

Якщо, , де та функції спеціального вигляду, то частинний розв’язок неоднорідного лінійного рівняння має вигляд

,

де та частинні розв’язки лінійних неоднорідних рівнянь

та відповідно.