2.3 Задачи теории погрешностей и неопределенностей

В теории погрешностей и неопределенностей решают следующие задачи:

• по данным выборки определяют надежные средние показатели, которые можно принять в качестве оценок параметров генеральной совокупности;

• оценивают точность параметров и надежность их оценок;

• проверяют наличие существенных различий между средними значениями в двух сериях измерениях.

• проверяют гипотезу относительно закона распределения случайной величины;

Характеристики выборки

2.3.1 Среднее

Среди ряда значений измеряемой случайной величины (здесь могут быть и одинаковые значения), чаще встречаются такие, для которых плотность вероятности больше. Поэтому среднее арифметическое разумно принимают в качестве оценки среднего значения .

2.3.2 Модой (или наиболее вероятным значением), называется такое значение , которому соответствует максимум вероятности в распределении выборки случайных величин.

3. Эмпирическая дисперсия:

(2.38)

3. Размах:

. (2.39)

3. Коэффициент корреляции:

понятие коэффициента корреляции вводится для выборки, содержащей согласованных пар значений ( ) для двух случайных величин и .

Очень часто необходимо ответить на вопрос: есть ли какая-то связь между случайными величинами и ? И если она существует, то какова ее сила?

Характеристикой выборки является эмпирический коэффициент корреляции.

, (2.40)

где, и – эмпирические среднеквадратичные отклонение величин , _.

Итак, определено 5 характеристик выборок (есть еще и другие, реже используемые).

Решая первую задачу – нахождение оценок параметров генеральной совокупности по характеристикам выборок, определяют возможность использования введенных выше характеристик выборок в качестве оценок соответствующих параметров распределений.

Из рассмотренного ранее материала следует, что точных и однозначных значений параметров распределений случайных величин в опытах получить невозможно, поскольку объем выборок всегда ограничен. В опытах можно получить только оценки неизвестных параметров распределений. К оценкам параметров распределений предъявляют три необходимых и достаточных требования. Оценки параметров должны быть состоятельными, несмещенными и эффективными.

3. Термины, обозначения и определения

В настоящих рекомендациях использованы следующие основные термины, обозначения и определения, согласно [1.10]:

неопределенность (измерений): Параметр, связанный с результатом измерений и характеризующий рассеяние значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величине;

стандартная неопределенность : Неопределенность результата измерений, выраженная в виде среднего квадратического отклонения (СКО);

суммарная стандартная неопределенность : Стандартная неопределенность результата измерений, полученного через значения других величин, равная положительному квадратному корню суммы дисперсий или ковариаций этих величин. Понятие ковариация используется для определения связи между двумя множествами исходных данных. Ковариация представляет собой среднее произведений отклонений для каждой согласованной пары точек исходных данных. Например: - ковариация измеренных согласованных пар значений и .

расширенная неопределенность : Величина, определяющая интервал вокруг результата измерений, в пределах которого, как можно ожидать, находится большая часть распределения значений, которые с достаточным основанием (с доверительной вероятностью ) могли бы быть приписаны измеряемой величине.

- оценка -й входной величины;

- -й результат измерения -й входной величины;

- среднее арифметическое значение -й входной величины;

- оценка измеряемой величины;

- стандартная неопределенность;

- стандартная неопределенность, оцененная по типу А;

- стандартная неопределенность, оцененная по типу В;

- стандартная неопределенность оценки -й входной величины;

- стандартная неопределенность единичного измерения -й входной величины;

- коэффициент корреляции оценок -й и -й входных величин;

- суммарная стандартная неопределенность;

- коэффициент охвата (числовой коэффициент, используемый как множитель при суммарной стандартной неопределенности для получения расширенной неопределенности ). В общем случае коэффициент охвата выбирают в соответствии с формулой

, (3.1)

где - квантиль распределения Стьюдента с эффективным числом степеней свободы и доверительной вероятностью (уровнем доверия) .

- квантиль распределения Стъюдента для доверительной вероятности (уровня доверия) и числа степеней свободы ;

- число степеней свободы при вычислении неопределенности оценки -й входной величины;

- эффективное число степеней свободы;

- оценка эффективного числа степеней свободы;

- расширенная неопределенность;

- расширенная неопределенность для уровня доверия ;

- среднее квадратическое отклонение (СКО) случайной погрешности результата измерений;

- СКО единичного измерения при многократных измерениях -й входной величины;

- СКО среднего арифметического значения при многократных измерениях -й входной величины;

- СКО суммы случайных и неисключенных систематических погрешностей;

- коэффициент при суммировании систематической и случайной составляющих суммарной погрешности, принятый в нормативных документах Государственной системы измерений по метрологии*;

- доверительные границы суммарной погрешности результата измерений для доверительной вероятности ;

- квантиль нормального распределения для доверительной вероятности ;

- границы -ой составляющей неисключенной систематической погрешности;

- доверительные границы систематической погрешности измерения для доверительной вероятности ;

- нижняя граница отклонения измеряемой величины от результата измерений;

- верхняя граница отклонения измеряемой величины от результата измерений;

- симметричные границы отклонения измеряемой величины от результата измерений.