2.2 Закон распределения вероятностей Гаусса (Нормальное распределение).
Это одно из наиболее важных распределений в математической статистике. Оно является распределением непрерывной случайной величины, имеет в графическом изображении вид симметричной колоколообразной кривой, которая распространяется до бесконечности как в положительном, так и в отрицательном направлениях.
Плотность вероятности появления случайной величины , распределенной по нормальному закону, имеет вид:
,
(2.17)
В математическое выражение нормального закона входит 2 параметра:
- истинное среднее
значение случайной величины
;
- среднее
квадратическое отклонение случайной
величины
от среднего значения
(стандартное
отклонение);
- дисперсия случайной
величины
.
Распределение
нормировано таким образом, что
Среднее значение непрерывной переменной , распределенной по нормальному закону
.
(2.18)
Дисперсия
.
(2.19)
Вероятность того, что случайная величина находится в пределах:
(2.20)
Для стандартизации нормального закона распределения вводят новую переменную:
(2.21)
Тогда интеграл вероятностей с новой переменной:
(2.22)
Функция
представлена для использования в
справочной литературе в виде таблицы
.
Там же табулирован интеграл ошибок,
отличающийся от интеграла вероятностей
тем, что в нем переменная
и, следовательно,
,
,
тогда
.
(2.23)
В функции 2.22 искомая
вероятность есть функция только отношения
,
поэтому
- удобная мера при определении отклонения
искомой случайной величины от среднего
значения. Отсюда и название
- стандартное отклонение. В теории
погрешностей и при вычислении
неопределенностей отношение
,
соответствующее заданной доверительной
вероятности
,
называется квантилью нормального закона
распределения. Квантиль распределения
используют как коэффициент надежности
результата, полученного непосредственно
в прямом измерении, или рассчитанного
по результатам косвенного измерения.
В теории надежности принято задавать
95 % доверительную вероятность. В таблице
2.1 представлены стандартные значения
квантилей для нормального распределения
случайной величины
(имеющей смысл измеряемой величины),
отвечающие заданной доверительной
вероятности
.
Таблица 2.1.
Квантиль
|
Доверительная вероятность |
Параметр доверия
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0.68 |
0.32 |
2 |
0.95 |
0.05 |
3 |
0.997 |
0.0027 |
Квантиль нормального распределения используют при вычислении неопределенности результата измерения в том случае, если дисперсия измеряемой случайной величины известна и, следовательно, известно стандартное отклонение.
Пример 1.
Требуется найти неопределенность
(построить доверительный интервал) для
,
являющейся оценкой среднего
величины
,
распределенной по нормальному закону:
.
(2.24)
Пусть проведено
одно измерение и среднее квадратическое
отклонение
известно. Полученный результат измерения
в виде оценки
входит в распределение случайной
величины
:
,
(2.25)
(2.26)
закон распределения оценок.
Для всякой заданной
доверительной вероятности
,
можно найти такое значение квантиля
,
что
.
(2.27)
Из определения
,
неравенство
равносильно неравенству:
.
(2.28)
Следовательно,
вероятность выполнения последнего
неравенства равна
.
Интервал
и будет доверительным интервалом,
определяющим нижнюю и верхнюю границы
неопределенности результата измерения.
В том случае, если
в измерениях получена серия результатов
в количестве
,
а оценка среднего значения найдена как
среднее арифметическое этой серии, т.е.
,
(2.29)
случайная величина
,
(2.30)
а границы доверительного интервала определяются неравенством
.
(2.31)
Обработанный результат измерения записывают в виде:
.
(2.32)
Пример 2.
Случайная величина
распределена по нормальному закону. В
измерениях получена серия
результатов,
,
многократным повторением замеров.
Дисперсия
неизвестна. Требуется найти неопределенность
(построить доверительный интервал) для
,
являющейся оценкой среднего
величины
,
распределенной по нормальному закону.
Оценку искомого среднего вычисляют как
среднее арифметическое по формуле 2.29.
Для решения поставленной задачи удобно
воспользоваться
- распределением Стьюдента, в котором
случайную величину
вычисляют по соотношению:
.
(2.33)
Здесь
- несмещенная оценка стандартного
отклонения от среднего арифметического,
а
- эмпирическое среднее квадратическое
отклонение. Статистическое распределение
Стьюдента представлено плотностью
вероятности случайной величины
:
,
(2.34)
где:
– число степеней свободы, оставшихся
от
статистически независимых результатов
серии измерений после вычисления
среднего арифметического;
- гамма-функция,
входящая в
- распределение Стьюдента.
В справочной
литературе
- распределение Стьюдента представляют
в виде таблиц [Приложение А], по которым,
при вычислении неопределенностей
результатов
измерений,
находят значения квантилей распределения
Стьюдента
по
заданной доверительной вероятности
(или по заданному параметру доверия
)
и числу степеней свободы
.
Из определения
,
неравенство
равносильно неравенству:
,
(2.35)
откуда следует:
.
(2.36)
Обработанный результат измерения записывают в виде:
.
(2.37)
В теории погрешностей и неопределенностей оперируют бесконечными совокупностями случайных величин, описываемыми законами распределений. В практике же совокупности всегда ограничены.
Совокупность всех возможных значений случайной величины называется генеральной совокупностью.
Определенное, конечное число значений случайной величины, полученное тем или иным способом, называется выборкой из генеральной совокупности.
Генеральная совокупность описывается законом распределения, то есть вероятностью получить любое значение случайной величины (или, для случая непрерывной случайной величины, значение величины в определенном интервале ее изменения). Законы распределения, как мы видели, содержат постоянные параметры (например, и в нормальном законе распределения). На практике всегда имеют дело с выборкой.