2.3. Концепция доминирования

В некоторых случаях исход игры можно предсказать однозначно, если игроки, как принято говорить, рациональны, и их выигрыши таковы, что рациональный выбор игроков не зависит от выбора других игроков.

Такая ситуация имеет место в игре «Выбор компьютера», если выгода от совместимости программного обеспечения (с) сравнительно мала, например, в случае, когда a = 2, b = 3, c = 1.

Доминирующие стратегии

		Игрок 2
		IBM	Mac
Игрок 1	IBM	с = 1	b = 3
		a+c = 3	а = 2
	Mac	0	b+c = 4
		0	с = 1

Тогда, если Игрок 2 выберет «IBM» (что соответствует левой колонке таблицы), то Игроку 1 выгоднее выбрать «IBM», чем «Mac» (поскольку 3 > 0). Если Игрок 2 выберет «Mac» (правая колонка), то Игроку 1 все равно выгоднее выбрать «IBM», чем «Mac» (поскольку 2 > 1).

Иначе говоря, вне зависимости от того, какой компьютер выберет Игрок 2, Игроку 1 выгодно выбрать компьютер IBM PC. Аналогично, Игрок 2 предпочтет Макинтош, поскольку 3 > 1 и 4 > 0.

В каждом столбце (т.е. при заданной стратегии Игрока 2) для Игрока 1 подчеркнем самое большое значение выигрыша (в данном случае это a+c=3 и а=2).

В каждой строке (т.е. при заданной стратегии Игрока 1) для Игрока 2 подчеркнем самое большое значение выигрыша (в данном случае это b=3 и b+c=4).

Для каждого игрока имеет место так называемое строгое доминирование стратегий.

Определения

Если стратегия x_i игрока i при любых действиях других игроков дает ему больший выигрыш, чем его стратегия y_i, то говорят, что стратегия x_i строго доминирует стратегию y_i.

Дадим формальное определение строгого доминирования. Здесь и в дальнейшем мы будем применять обозначение x_–i, что означает «все элементы набора x, кроме i-го», т.е.

x_–i = (x₁, ..., x_i–1, x_i+1, x_n).

При этом будем считать, что (x_i, x_–i) – это то же самое, что x.

Стратегия x_i  игрока i строго доминирует стратегию y_i  этого же игрока, если при любых стратегиях x_–i, выбранных остальными игроками, выполнено условие:

u_i(x_i, x_–i) > u_i(y_i, x_–i), (т.е. выигрыш от x_i  всегда больше выигрыша от y_i)

Стратегия x_i  игрока i является его строго доминирующей стратегией, если при любых стратегиях, выбранных остальными игроками x_–i, она дает игроку i больший выигрыш, чем любая другая его стратегия y_i , т.е.

u_i(x_i, x_–i) > u_i(y_i, x_–i), при любом y_i  x_i.

(Строго доминирующая стратегия игрока строго доминирует любую другую его стратегию).

В соответствие с данным определением не может существовать более одной строго доминирующей стратегии.

Естественно ожидать, что рациональный игрок выберет именно такую стратегию. Поэтому при наличии у каждого игрока строго доминирующей стратегии исход игры можно предсказать однозначно.

Игра 2. «Дилемма заключенного». Игра представляет знаменитый пример ситуации, которая в дальнейшем будет встречаться в разных вариантах. Опишем ее классический вариант, который дал название целому классу подобных ситуаций.

Два индивида, подозреваемых в совершении тяжкого преступления, могут быть осуждены на срок в 25 лет в том случае, если следствию удастся доказать факт совершения преступления. Следователи убеждены в виновности подозреваемых, но без сотрудничества с ними (по крайней мере, одного из них), не способны доказать их виновность. Поэтому следователи идут на сделку с подозреваемыми, предложив каждому из них сотрудничество в обмен на снижение срока наказания – до 10 лет каждому из подозреваемых, если сотрудничать со следствием согласятся оба подозреваемых, и – до 1 года (согласившемуся на сотрудничество подозреваемому), если сотрудничать согласится только один из них. При отказе от сотрудничества обоих подозреваемых существующие улики позволяют осудить обоих обвиняемых только на срок до 3 лет.

Задача 1. Охарактеризуйте описанную ситуацию в виде игры (игроки, их стратегии, матрица выигрышей). Какие стратегии, по Вашему мнению, выберут игроки, и каким при этом будет исход игры?

Решение. В этой игре участвуют два игрока. Каждый из них имеет две стратегии «согласиться на сотрудничество» или просто «согласиться» и «отказаться от сотрудничества» или просто «отказаться». Поскольку в игре два игрока и конечное множество стратегий, то можно построить матрицу игры. Она имеет вид